Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion (engl.: inverse function) einer bijektiven Funktion ist die Funktion, die jedem Element der Wertemenge sein eindeutig bestimmtes Urbildelement zuweist. (Bei bijektiven Funktionen hat die Urbildmenge jedes Elements genau ein Element.)
Wenn f: A → B eine bijektive Funktion ist, dann bezeichnet f -1: B → A die Umkehrfunktion. Dabei ist das -1 nicht mit einer negativen Potenz bezüglich der Multiplikation zu verwechseln; es handelt sich bei dieser Schreibweise vielmehr um die Umkehrung der Hintereinanderausfühung von Funktionen.
Der Funktionswert f -1(y) ist definiert als das (eindeutig bestimmte) x in A, das die Gleichung f(x) = y erfüllt.
Sei f: R → R die Funktion mit f(x) = 3x + 2. Diese ist bijektiv und die Umkehrfunktion ist gegeben durch f-1(y) = (y-2)/3.
Sei R0+ = [0, ∞) die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen und f: R0+ → R0+, f(x) = x2 eine eingeschränkte Quadrat-Abbildung. Dann ist f bijektiv. Die Umkehrfunktion f-1 ist gegeben durch f -1: R0+ → R0+, f(x) = √x.
Siehe dazu auch die weiteren Beispiele im Artikel Injektivität.
Die Umkehrfunktionen von Einschränkungen der trigonometrische Funktionen Sinus (sin), Cosinus (cos) und Tangens (tan) auf geeignete Definitions- und Wertebereiche (auf denen diese Einschränkungen bijektiv sind) heißen Arcus-Funktionen: Arcus-Sinus (arcsin), Arcus-Cosinus (arccos) und Arcus-Tangens (arctan).
Die Umkehrungen geeigneter Einschränkungen der Hyperbelfunktionen Sinus Hyperbolicus (sinh), Cosinus-Hyperbolicus (cosh) und Tangens Hyperbolicus (tanh) heißen Areafunktionen: Areasinus Hyperbolicus (arsinh), Areacosinus Hyperbolicus (arcosh) und Areatangens Hyperbolicus (artanh).
Die Umkehrfunktion der Umkehrfunktion ist die ursprüngliche Funktion, d.h.
Ist f: A → B eine bijektive Funktion, wobei A und B Teilmengen von R sind, dann entsteht der Graph der Umkehrfunktion, indem man den Graph von f an der Diagonalen y = x spiegelt.
Schreibweise
Beispiel
Eigenschaften
Ist f: A → B eine bijektive Funktion, dann gilt für die Umkehrfunktion:
Sind f: A → B und g: B → A zwei Funktionen mit den Eigenschaften
dann sind beide Funktionen bijektiv und g ist die Umkehrfunktion von f.