Trigonometrische Funktion
Mit trigonometrischen Funktionen (Synonym: Winkelfunktionen) bezeichnet man rechnerische Zusammenhänge zwischen Winkel und Seitenverhältnissen (ursprünglich in rechtwinkligen Dreiecken). Tabellen mit Verhältniswerten für bestimmte Winkel ermöglichen Berechnungen bei Vermessungsaufgaben, die Winkel und Seitenlängen in Dreiecken nutzen.
Übersicht der trigonometrischen Funktionen
Die gebräuchlichsten trigonometrischen Funktionen sind
Die Kehrwerte der obigen Funktionen sind ebenfalls trigonometrische Funktionen, sie werden aber seltener benutzt:
Definition
Ursprünglich als Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken und daher nur für Winkel von 0 bis 90 Grad definiert (siehe Sinus, Kosinus, Tangens), können die Winkelfunktionen als Sekanten- und Tangentenabschnitte am Einheitskreis auch auf größere Winkel erweitert werden. Vom Schnittpunkt des einen Winkelschenkels mit dem Einheitskreis werden die Lote auf die beiden Koordinatenachsen gefällt und liefern Sinus und Kosinus des Winkels. Die Tangenten in den Punkten x=1 bzw. y=1 schneiden den Schenkel ebenfalls und liefern dann in der Projektion auf die Achsen den Tangens und den Kotangens. Dabei muss der Schenkel gegebenenfalls rückwärts verlängert werden, um einen Schnittpunkt zu erzielen. Auf diese Weise können jedem Winkel von 0 bis 360 Grad Werte der Winkelfunktionen zugeordnet werden, die nun freilich auch negativ werden können (siehe Abbildung).
Die Vorzeichen der Winkelfunktionen in Abhängigkeit vom Quadranten gibt die folgende Tabelle an:
Quadrant | sin | cos | tan | ctg |
I | + | + | + | + |
II | + | - | - | - |
III | - | - | + | + |
IV | - | + | - | - |
Eine Tabelle spezieller Werte findet sich unter Reduktionsformeln.
Anwendung der trigonometrischen Funktionen
Hauptsächlich werden die trigonometrischen Funktionen im Vermessungswesen genutzt.
Für eine Liste von Formeln zur Berechnung von Größen am Dreieck siehe den Artikel Dreieckstrigonometrie.
Weiterhin sind sie in der Analysis und bei vielen Anwendungen der Physik wichtig. Es besteht eine enge Beziehung zur Exponentialfunktion, die besonders bei Funktionen komplexer Zahlen und in der Taylorreihe der Funktionen sichtbar wird.
Umkehrung der trigonometrischen Funktionen
In manchen Situationen werden die trigonometrischen Winkelfunktionen benötigt, um aus Seitenverhältnissen Winkel zu berechnen. Dazu werden die Arcus-Funktionen oder inverse Winkelfunktionen arcsin, arccos, arctan und arccot- die Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen - verwendet. Auf Taschenrechnern sind sie häufig (irreführenderweise) mit sin-1 usw. bezeichnet, was die Umkehrung zu sin andeuten solle.
Die Arcus-Funktionen werden verwendet, um zu einem Seitenverhältnis den Winkel zu berechnen. Wegen der Symmetrie der trigonometrischen Funktionen ist bei ihnen zu klären, in welchem Quadrant der gesuchte Winkel liegt.
Funktionale Zusammenhänge
Gegenseitige Darstellung
Die Trigonometrischen Funktionen lassen sich ineinander umwandeln oder gegenseitig darstellen. Es gelten folgende Zusammenhänge:- für
- für
- für
- für
- für
- für
- für
- für
- für
- für
- für
- für
Vorzeichen der Winkelfunktionen
- sin x > 0 für
- sin x < 0 für
- cos x > 0 für
- cos x < 0 für
- tan x > 0 für
- tan x < 0 für
Siehe auch: Zusammenhang mit den Hyperbelfunktionen, Quadrant
Bitte beachten: Hier, wie auch sonst in calculus, ist es wichtig, dass alle Winkel im Bogenmaß angegeben werden.
Man kann Zeigen, dass der cosinus die Ableitung des sinus darstellt und die Ableitung des cosinus der negative sinus ist. Hat man diese Ableitungen, kann man die Taylorreihe entwickeln und zeigen, dass die folgenden Identitäten für alle x aus den Reellen Zahlen gelten:
Symmetrien
Die trigonometrischen Funktionen haben einfache Symmetrien:
Additionstheoreme
Weiterhin sind die Additionstheoreme nützlich:
Für x=y folgen hieraus dieDoppelwinkelfunktionen
Halbwinkelformeln
Zur Berechnung des Funktionswertes des halben Arguments dienen die Halbwinkelformeln:
Identitäten
Aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten ableiten, mit denen die Summe zweier trigonometrischer Funktionen als Produkt aufgefasst werden kann:Reduktionsformeln
Es gibt Reduktionsformeln, mit denen man das Argument einer Winkelfunktion in das Intervall [0, 90°] bzw. [0, π/4] bringen kann.Reihenentwicklung