Dreieckstrigonometrie
ebenes Dreieck |
Unter Dreieckstrigonometrie versteht man in der Geometrie die Lehre von den Beziehungen zwischen den den Größen eines ebenen Dreiecks. Diese Größen sind unter anderem Seitenlängen, Winkel, Radien von Umkreis und Inkreis.
In der sphärischen (räumlichen) Geometrie gelten andere Beziehungen.
Die folgende Liste enthält die meisten bekannten Formeln aus der Dreieckstrigonometrie der Ebene. Die meisten dieser Beziehungen verwenden trigonometrische Funktionen.
Dabei werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: Das Dreieck ABC habe die Seiten a = BC, b = CA und c = AB, die Winkel α, β und γ bei den Ecken A, B und C. Ferner seien r der Umkreisradius, ρ der Inkreisradius und ρa, ρb und ρc die Ankreisradien (und zwar die Radien der Ankreise, die den Ecken A, B bzw. C gegenüberliegen) des Dreiecks ABC. Die Variable s steht für den halben Umfang des Dreiecks ABC: . Schließlich wird die Fläche des Dreiecks ABC mit F bezeichnet. Alle anderen Bezeichnungen werden jeweils in den entsprechenden Abschnitten, in denen sie vorkommen, erläutert.
Die folgenden Formeln folgen nach mehr oder weniger langen Termumformungen aus α + β + γ = 180°, gelten also allgemein für drei beliebige Winkel α, β und γ mit α + β + γ = 180°, solange die die in den Formeln vorkommenden Funktionen wohldefiniert sind (letzteres betrifft nur die Formeln, in denen Tangense und Kotangense vorkommen).
Im folgenden bedeutet s immer die Hälfte des Umfangs des Dreiecks ABC, also .
Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC wird hier mit F bezeichnet (nicht, wie heute üblich, mit A, um eine Verwechselung mit der Dreiecksecke A auszuschließen):
Den Umkreisradius des Dreiecks ABC bezeichnen wir mit r.
[Es ist zu beachten, daß die hier benutzten Bezeichnungen r, ρ, ρa, ρb, ρc für den Umkreisradius, den Inkreisradius und die drei Ankreisradien von der vorwiegend im englischsprachigen Raum verbreiteten Bezeichnungsweise abweichen, bei der dieselben Größen R, r, ra, rb, rc genannt werden.]
In diesem Abschnitt werden Formeln aufgelistet, in denen der Inkreisradius ρ und die Ankreisradien ρa, ρb und ρc des Dreiecks ABC vorkommen.
Die Längen der von A, B bzw. C ausgehenden Höhen des Dreiecks ABC werden mit ha, hb und hc bezeichnet.
Die Längen der von A, B bzw. C ausgehenden Seitenhalbierenden des Dreiecks ABC werden sa, sb und sc genannt.
Wir bezeichnen mit wα, wβ und wγ die Längen der von A, B bzw. C ausgehenden Winkelhalbierenden im Dreieck ABC.
Winkelsumme
Sinussatz
Kosinussatz
Projektionssatz
Die Mollweideschen Formeln
Tangenssatz
Trigonometrische Beziehungen zwischen den Winkeln
Formeln mit dem halben Umfang
Flächeninhalt und Umkreisradius
In- und Ankreisradien
Höhen
Hat das Dreieck ABC einen rechten Winkel bei C (ist also γ = 90°), dann giltSeitenhalbierende
Winkelhalbierende