Kreis- und Hyperbelfunktionen
Sowohl die Kreisfunktionen (z. B. Sinus, Cosinus) als auch die Hyperbelfunktionen (Sinus Hyperbolicus, Cosinus Hyperbolicus, Tangens Hyperbolicus und Cotangens Hyperbolicus) sind mathematische Funktionen, die sowohl für alle reellen als auch komplexen Zahlen definiert sind.In diesem Artikel werden nur die Sinus- und Cosinus-Funktionen detailliert behandelt. Auch die Tangens-, Cotangens-, Secans- und Cosecans-Funktionen sowie ihre analogen Hyperbelfunktionen zeigen Ähnlichkeiten vom unten beschriebenen Typ.
Table of contents |
2 Eigenschaften der Funktionen |
Beide Gruppen von Funktionen lassen sich unter anderem durch die Exponentialfunktion oder ihre Taylorreihenentwicklung definieren.
Die ähnlichen Namen (z. B. Sinus, Sinus Hyperbolicus) lassen sich durch die ähnlichen Definitionen und Eigenschaften verstehen.
Oft unterscheiden sich die Kreis- und Hyperbelfunktion in Definition oder Eigenschaften nur darin, dass die Funktionsvariable der Kreisfunktion durch das Produkt aus imaginärer Einheit mit der Funktionsvariablen ersetzt wird, oder das positive und negative Vorzeichen vertauscht sind.
Die imaginäre Einheit, abgekürzt i, wird oft auch als "Quadratwurzel aus minus 1" bezeichnet.
Die Definitionen von Kreis- und Hyperbelfunktionen über die Exponentialfunktion erlauben es, das Funktionsverhalten auf eine bekannte Funktion zurückzuführen.
Sie sind daher viel genutzt.
Die Taylorreihen unterscheiden sich nur in den Vorzeichen jedes zweiten Summengliedes.
Bei den Hyperbelfunktionen werden alle Reihenglieder addiert;
bei den Kreisfunktionen wird jedes zweite Reihenglied subtrahiert.
Der Name Kreis- bzw. Hyperbelfunktionen stammt daher, dass die Kreisfunktionen einen Kreis beschreiben,
Für jede komplexe Zahl z gilt:
Auch die Ableitungen der Kreis- und Hyperbelfunktionen sind einander ähnlich.
Definitionen
Definition über die Exponentialfunktion
Definition über Reihenentwicklung
Hier steht der Ausdruck n! für die Fakultät von n, das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen:
Eigenschaften der Funktionen
Kreis und Hyperbel
während die Hyperbelfunktionen eine Hyperbel beschreiben:
Umwandlung zwischen Kreis- und Hyperbelfunktionen
beziehungsweise:
Ableitungen
So lässt sich alles schön voneinander abhängig beschreiben.