Hyperbelfunktion
Die vier Hyperbelfunktionen sind: Sie sind für alle komplexe Zahlen definiert und auf dem gesamten Gebiet der komplexen Zahlen holomorph.
Definition über die Exponentialfunktion:
:= | ||
:= |
- Der Ausdruck steht für die Fakultät von
- Das Reihenglied ist identisch mit der Zahl .
- Das Reihenglied ist identisch mit der Zahl 1.
Wertebereich der reellen Hyperbelfunktionen:
Für alle reelle Zahlen r sind auch sinh ( r ) und cosh ( r ) reell.
Die reelle Funktion sinh ist monoton steigend und besitzt in 0 ihren einzigen Wendepunkt.
Die reelle Funktion cosh ist für Werte < 0 streng monoton fallend,
für Werte > 0 streng monoton steigend.
Wertebereich der komplexen Hyperbelfunktionen:
sinh
Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:
A := { z | - π/2 < Imaginärteil von z < + π/2 }
B := { z | Realteil von z ungleich 0 oder Imaginärteil von z = ±1 }
Dann bildet die komplexe Funktion sinh den "Streifen" A bijektiv auf B ab.
cosh
Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:
A := { z | 0 < Imaginärteil von z < + π }
B := { z | Imaginärteil von z ungleich 0 oder Realteil von z = ±1 }
Dann bildet die komplexe Funktion cosh den "Streifen" A bijektiv auf B ab.
Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen:
Für alle komplexen Zahlen z gilt:
Für alle komplexen Zahlen z1 und z2 gilt:
d.h. beide Funktionen sind periodisch mit der Minimalperiode 2 * i * π.Alternative Namen:
Abgeleitete Funktionen:
Siehe auch:
Zusammenhang mit den Kreisfunktionen