Zyklische Gruppe
In der Gruppentheorie ist eine zyklische Gruppe eine Gruppe, die von einem einzelnen Element erzeugt wird.Eine Gruppe G ist also zyklisch, wenn sie ein Element a enthält (den "Erzeuger" der Gruppe), so dass jedes Element von G eine Potenz von a ist. Gleichbedeutend damit ist, dass es ein Element a gibt, so dass G selbst die einzige Untergruppe von G ist, die a enthält.
Zyklische Gruppen sind die einfachsten Gruppen und können vollständig klassifiziert werden: Für jede natürliche Zahl n gibt es eine zyklische Gruppe Cn mit genau n Elementen, und es gibt die unendliche zyklische Gruppe, die additive Gruppe der ganzen Zahlen Z. Jede andere zyklische Gruppe ist zu einer dieser Gruppen isomorph.
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2 Schreibweisen 3 Eigenschaften |
Die endlichen zyklischen Gruppen können veranschaulicht werden als Drehgruppen regulärer Vielecke. Zum Beispiel besteht die Gruppe C4 aus den möglichen Drehungen der Ebene, die ein vorgegebenes Quadrat in sich überführen.
Die obenstehende Abbildung zeigt ein Quadrat A und die Stellungen B,C und D, in die es durch Drehen überführt werden kann. Darunter ist jeweils die dazu nötige Drehung angegeben.
Beachte bei dieser Darstellung, dass die Elemente der zyklischen Gruppe die Bewegungen sind, und nicht die Stellungen des Quadrats. Das heißt, die Gruppe C4 besteht in dieser Darstellung aus der Menge {0°, 90°, 180°, 270°}. Die Verknüpfung der Elemente ist die Hintereinanderausführung der Drehungen; das entspricht einer Addition der Winkel. Dabei stimmt die Drehung um 360° mit der Drehung um 0° überein, die Winkel werden also genau genommen modulo 360° addiert.
Lässt man nicht nur Drehungen der Ebene zu, sondern auch Spiegelungen, dann erhält man im Fall von Vielecken die so genannten Diedergruppen, die nur für Ein-, Zwei- und Dreiecke zyklisch sind.
Beachte auch, dass die Drehgruppe des Kreises, S1, nicht zyklisch ist.
Eine andere Darstellung einer zyklischen Gruppe liefert die Addition modulo einer Zahl, die so genannte Restklassenarithmetik. In der additiven Gruppe (Z/nZ, +) ist die Restklasse der 1 ein Erzeuger, das heißt, man kann jede andere Restklasse erhalten, indem man die 1 wiederholt mit sich selbst addiert.
Die Restklassengruppe Z/4Z = {0, 1, 2, 3} verhält sich genauso wie die oben beschriebene Drehgruppe {0°, 90°, 180°, 270°}: 0 entspricht 0°, 1 entspricht 90° usw. Diese beiden Gruppen sind isomorph.
Die Gruppe Cn schreibt man meist multiplikativ, da dies die übliche Schreibweise der Verknüpfung von Bewegungen ist. Sie ist isomorph zur additiven Gruppe des Restklassenring Z/nZ, der Isomorphismus ist dabei der diskrete Logarithmus: Ist a ein Erzeuger der Cn, dann ist die Abbildung
Obwohl die Gruppen Z/nZ die verbreitetsten Vertreter zyklischer Gruppen sind, sollte man wenn möglich die Schreibweise Cn verwenden, damit niemand verleitet wird, das Vorhandensein einer Ringstruktur anzunehmen. Will man jedoch die Elemente der Gruppe explizit verwenden, empfiehlt sich die Verwendung von Z/nZ.
Alle zyklischen Gruppen sind abelsch, d.h. kommutativ.
Eine zyklische Gruppe kann mehrere Erzeuger haben, die jeweils für sich die Gruppe erzeugen. Die Erzeuger von Z sind +1 und -1, die Erzeuger von Z/nZ sind die Restklassen, die teilerfremd zu n sind; ihre Anzahl φ(n) wird von der Eulerschen φ-Funktion angegeben.
Ist allgemeiner d ein Teiler von n, dann ist φ(d) die Anzahl der Elemente von Z/nZ, die die Ordnung d haben:
Ist p eine Primzahl, dann ist die (bis auf Isomorphie) einzige Gruppe der Ordnung p die zyklische Gruppe group Cp.
Das direkte Produkt zweier zyklischer Gruppen Cn und Cm ist genau dann zyklisch, wenn n und m teilerfremd sind; in diesem Fall ist das Produkt isomorph zu Cmn.
Jede endlich erzeuge abelsche Gruppe ist direktes Produkt endlich vieler zyklischer Gruppen.
Alle Untergruppen und Faktorgruppen von zyklischen Gruppen sind zyklisch. Insbesondere sind die Untergruppen von Z von der Form mZ mit einer natürlichen Zahl m. Alle diese Untergruppen sind verschieden, und für m≠0 sind sie isomorph zu Z.
Der Verband der Untergruppen von Z ist isomorph zum dualen Verband der natürlichen Zahlen mit der Teilbarkeit.
Alle Faktorgruppen von Z sind endlich, mit Ausnahme der trivialen Faktorgruppe Z/{0}.
Für jeden positiven Teiler d von n hat die Gruppe Z/nZ genau eine Untergruppe der Ordnung d, nämlich die von dem Element n/d erzeugte Untergruppe {kn/d | k=0, ..., d-1}.
Andere als diese Untergruppen gibt es nicht. Der Untergruppenverband ist deshalb isomorph zum Teilerverband von n.
Eine zyklische Gruppe ist genau dann einfach, wenn ihre Ordnung eine Primzahl ist.
Der Endomorphismenring (s. Gruppenhomomorphismus) der Gruppe Cn ist Ring-isomorph zum Restklassenring Z/nZ. Unter diesem Isomorphismus entspricht die Restklasse r von Z/nZ dem Endomorphismus von Cn, der jedes Element auf seine r-te Potenz abbildet. Daraus folgt, dass die Automorphismengruppe Cn isomorph zur Gruppe (Z/nZ)* der Einheitengruppe des Rings Z/nZ ist. Diese Gruppe besteht aus den Elementen, die teilerfremd zu n sind, sie hat φ(n) Elemente.
Der Endomorphismenring der zyklischen Gruppe Z ist isomorph zum Ring Z, und die Automorphismengruppe ist isomorph zur Einheitengruppe von Z, {+1, -1}, und diese ist isomorph zur zyklischen Gruppe C2.
Ist n eine natürliche Zahl, dann ist (Z/nZ)* genau dann zyklisch, wenn n gleich 2, 4, pk oder 2 pk ist, für eine Primzahl p>2 und eine natürliche Zahl k. Die Erzeuger dieser zyklischen Gruppe heißen Primitivwurzeln modulo n.
Insbesondere ist für jede Primzahl p die Gruppe (Z/pZ)* zyklisch mit p-1 Elementen. Allgemeiner ist jede endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers zyklisch.
Die Galoisgruppe einer endlichen Körpererweiterung eines endlichen Körpers eine endliche zyklische Gruppe. Umgekehrt gibt es für jeden endlichen Körper K und jede endliche zyklische G endliche Körpererweiterung L/K mit Galoisgruppe G.
Veranschaulichung
Drehgruppen
Restklassengruppen
Schreibweisen
ein Isomorphismus. Manchmal schreibt man auch Zn statt Z/nZ, jedoch hat diese Schreibweise auch andere Bedeutungen (z.B. als p-adische Zahlen) und sollte deshalb hierfür vermieden werden.Eigenschaften
Die Ordnung eines Elements m istUntergruppen und Faktorgruppen
Endomorphismen und Automorphismen
Algebraische Eigenschaften