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Spezielle Relativitätstheorie



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Die spezielle Relativitätstheorie von Albert Einstein ist eine Theorie über Raum und Zeit. Sie wurde 1905 im Artikel "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" veröffentlicht. Eine Faksimile-Wiedergabe dieses Artikels kann direkt beim Verlag heruntergeladen werden [1].

Im Gegensatz zur landläufigen Meinung ist die Aussage der Relativitätstheorie nicht "alles ist relativ". Zwar ist in ihr einiges relativ, was vorher als absolut angesehen wurde, jedoch beruht sie im Kern auf einem Postulat der "Nichtrelativität": Die Formulierung der Naturgesetze hängt nicht vom Bezugssystem ab, ist mithin nicht relativ, sondern absolut bzw. invariant. In der Tat war Einstein mit der Bezeichnung "Relativitätstheorie" für seine Theorie nie glücklich.

Anmerkung: Dieser Text verzichtet bewusst weitestgehend auf Formeln. Wer an Formeln für die entsprechenden Effekte interessiert ist, kann die vorhandenen Links auf die entsprechenden Einzelthemen verwenden.

Table of contents
1 Warum eine neue Theorie von Raum und Zeit?
2 Relativistische Effekte
3 Von Raum und Zeit zur Raumzeit
4 Relativitätstheorie bei geringen Geschwindigkeiten
5 Anwendung der Speziellen Relativitätstheorie in der Quantenmechanik
6 Siehe auch
7 Weblinks
8 Literatur

Warum eine neue Theorie von Raum und Zeit?

Die Gesetze der klassischen Mechanik haben die besondere Eigenschaft, dass sie in jedem Inertialsystem, also in jedem unbeschleunigt bewegten System, gleichermaßen gelten (Relativitätsprinzip). Diese Tatsache ist es, die es einem erlaubt, auch im ICE bei voller Fahrt z.B. einen Kaffee zu trinken, ohne sich darum kümmern zu müssen, dass man gerade mit 300 km/h unterwegs ist, und sie erlaubt es auch, auf der Erde zu leben, ohne sich dauernd darum zu kümmern, dass dieselbe mit hoher Geschwindigkeit um die Sonne kreist. Die Transformationen (Umrechnungsformeln), mit denen in der klassischen Mechanik von einem Inertialsystem ins andere umgerechnet wird, heißen Galileitransformationen, und die Eigenschaft, dass die Gesetze nicht vom Inertialsystem abhängen, also sich bei einer Galileitransformation nicht ändern, nennt man entsprechend Galilei-Invarianz. Die Formeln für eine Galileitransformation folgen unmittelbar aus der klassischen Vorstellung eines euklidischen Raumes und einer davon unabhängigen Zeit.

Die Elektrodynamik, die sehr erfolgreich die elektrischen, magnetischen und optischen Phänomene beschreibt, ist nun nicht galilei-invariant. Wenn man nun annimmt, dass die klassischen Vorstellungen von Raum und Zeit gültig sind, bedeutet dies, dass es für die Elektrodynamik ein bevorzugtes Bezugssystem geben muss. Insbesondere sagt die Elektrodynamik voraus, dass für elektromagnetische Wellen (also insbesondere für Licht) die Ausbreitungsgeschwindigkeit im Vakuum (Lichtgeschwindigkeit) stets einen festen, konstanten Wert hat. Wenn es nun ein bevorzugtes Bezugssystem (genannt Äthersystem, weil man sich damals vorstellte, die Lichtwellen seien Wellen eines Mediums, das Äther genannt wurde) gibt, in dem die Elektrodynamik gilt, so sollte nur in diesem das Licht mit Lichtgeschwindigkeit unterwegs sein. Somit sollte es durch Messung der Lichtgeschwindigkeit möglich sein, die eigene Geschwindigkeit gegenüber dem Äthersystem zu bestimmen (zum Vergleich: Wenn wir neben einem Zug herfahren, von dem wir wissen, dass er – relativ zur Erde – mit 200 km/h unterwegs ist, er sich aber relativ zu uns nur mit 150 km/h bewegt, dann wissen wir, dass wir uns selber mit 50 km/h relativ zur Erde in dieselbe Richtung bewegen).

Ausgehend von dieser Überlegung gab es einige Experimente, die versuchten, die Geschwindigkeit der Erde gegenüber dem Äthersystem zu messen. Der berühmteste davon ist der Michelson-Morley-Versuch, in dem mit Hilfe von Interferenz die Zeiten, die Lichtstrahlen in verschiedene Richtungen brauchen, miteinander verglichen werden. All diese Versuche konnten jedoch keinerlei Bewegung nachweisen.

Einsteins Lösung des Problems war nun das Postulat, dass auch die Elektrodynamik (und überhaupt jedes Naturgesetz) in jedem Bezugssystem unverändert gilt, und der Grund, warum das mathematisch offenbar nicht funktionierte, an einer falschen Vorstellung von Raum und Zeit lag. Die spezielle Relativitätstheorie liefert ein alternatives Verständnis von Raum und Zeit, mit dem auch die Elektrodynamik nicht mehr vom Bezugssystem abhängt. Ihre Vorhersagen sind experimentell erfolgreich überprüft worden.

Mathematisch drücken sich die veränderten Vorstellungen über Raum und Zeit in veränderten Formeln aus, um von einem Inertialsystem ins andere umzurechnen. Statt der Galilei-Transformation übernimmt diese Aufgabe nun die Lorentztransformation, und entsprechend bedeutet die Unabhängigkeit der physikalischen Gesetze vom Inertialsystem nun Lorentz-Invarianz. Die Elektrodynamik ist von Haus aus lorentzinvariant.

Relativistische Effekte

Wenn die Elektrodynamik in jedem Bezugssystem gleichermaßen unverändert gilt, dann gilt insbesondere auch ihre Vorhersage für eine konstante Vakuum-Lichtgeschwindigkeit in jedem Bezugssystem. Das Licht ist also in jedem Bezugssystem gleich schnell.

Aus dieser Tatsache lassen sich einige Effekte ableiten, die der klassischen Vorstellung von Raum und Zeit widersprechen.

Relativität der Gleichzeitigkeit

Die Aussage der speziellen Relativitätstheorie, die vermutlich den gewohnten Vorstellungen am stärksten widerspricht, ist die Relativität der Gleichzeitigkeit: Die Gleichzeitigkeit, oder allgemeiner die zeitliche Reihenfolge zweier Ereignisse ist abhängig vom Beobachter.

Diese Tatsache lässt sich unmittelbar mit dem folgenden Gedankenexperiment verstehen:

In der Mitte eines Bahnsteiges steht eine Lampe. Für einen Beobachter, der auf dem Bahnsteig steht, ist unmittelbar klar: Wenn die Lampe eingeschaltet ist, dann erreicht das Licht beide Enden des Bahnsteigs gleichzeitig: Es hat ja in beide Richtungen denselben Weg zurückzulegen.

Betrachten wir nun die Situation aus der Sicht eines Fahrgastes eines mit konstanter Geschwindigkeit vorbeifahrenden Zuges: Der Bahnsteig bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit nach hinten. Dadurch hat das Licht der Lampe zum vorderen Ende des Bahnsteigs einen kürzeren Weg zurückzulegen als zum hinteren Ende (denn das vordere Ende kommt dem Zug ja entgegen, während das hintere Ende sich von ihm wegbewegt). Da aber das Licht sich auch für den Fahrgast in beide Richtungen gleich schnell ausbreitet, wird es also das vordere Bahnsteigende früher erreichen als das hintere, insbesondere werden beide Enden des Bahnsteigs nicht gleichzeitig erreicht.

Der Beobachter am Bahnsteig und der Beobachter im Zug sind sich also nicht einig über die Frage, ob die beiden Ereignisse "das Licht erreicht das vordere Ende des Bahnsteigs" und "das Licht erreicht das hintere Ende des Bahnsteigs" gleichzeitig sind. Der Beobachter im Zug nimmt Ereignisse weiter hinten (also in der Richtung, in die sich für ihn der Bahnsteig bewegt) relativ zum Beobachter am Bahnsteig "verspätet" wahr, und zwar um so stärker, je weiter hinten das Ereignis stattfindet. Umgekehrt finden Ereignisse weiter vorne (also in die Richtung, aus der der Bahnsteig kommt) "verfrüht" statt.

Mit dem Relativitätsprinzip ist dies vereinbar. Die Richtung, aus der für den Beobachter im Zug der Bahnsteig kommt, ist die Richtung, in die aus Sicht des Beobachters am Bahnsteig der Zug fährt. Dementsprechend sind für ihn Ereignisse in dieser Richtung gegenüber der Beschreibung des Beobachters im Zug verspätet.

Die Gleichzeitigkeit von Ereignissen, deren Ort sich nur senkrecht zur Bewegungsrichtung ändert, ist in beiden Bezugssystemen gleich: Wenn die Lampe auf halber Höhe des Zuges hängt, so wird das Licht sowohl für den Beobachter am Bahnsteig, als auch für den Beobachter im Zug gleichzeitig die Unter- und Oberseite des Zuges erreichen.

Mehr zum Thema siehe unter Relativität der Gleichzeitigkeit.

Zeitdilatation

Nehmen wir nun an, am Bahnsteig stehe auch eine Bahnhofsuhr deren Sekundenzeiger – aus Sicht des Beobachters am Bahnhof – jede Sekunde einen Strich weiterspringt. Wir haben also eine Reihe von Ereignissen: "Der Sekundenzeiger springt auf 1", "Der Sekundenzeiger springt auf 2", usw. Der Beobachter im Zug sieht nun auch die Bahnhofsuhr. Jedoch jedesmal, wenn der Zeiger weiterspringt, hat sich die Bahnhofsuhr schon wieder ein Stück mit dem Bahnhof nach hinten bewegt. Da nun Ereignisse, die weiter hinten stattfinden, aus seiner Sicht relativ zur Sicht des Beobachters am Bahnsteig verspätet stattfinden, und zwar um so mehr, je weiter hinten es stattfindet, folgt daraus, dass die Uhr für ihn immer stärker nachgeht – mit anderen Worten: sie geht zu langsam. Dasselbe gilt natürlich auch für alle anderen Vorgänge auf dem Bahnsteig. Diesen Effekt nennt man Zeitdilatation.

Die Zeitdilatation gilt – entsprechend dem Relativitätsprinzip – auch umgekehrt: Wenn der Beobachter im Zug eine Uhr mit sich führt, dann geht diese Uhr – wie auch alle anderen Vorgänge im Zug – für den Beobachter am Bahnsteig langsamer. Die Tatsache, dass beide Beobachter den anderen verlangsamt sehen, mag auf den ersten Blick paradox erscheinen. Jedoch muss man sich vor Augen halten, dass die Zeiten jeweils an unterschiedlichen Orten gemessen werden. Wenn z.B. am Bahnsteig eine ganze Reihe von Uhren aufgestellt sind, und der Reisende im Zug seine Uhr stets mit der gerade an ihm vorbeifahrenden Uhr vergleicht (also mithin immer wieder an einer anderen), so wird er übereinstimmend mit dem Beobachter am Bahnsteig feststellen, dass diese immer stärker gegenüber seiner Uhr vorgeht. Allerdings wird er einen anderen Grund nennen: Während der Beobachter am Bahnsteig dies auf die Zeitdilatation des Beobachters im Zug zurückführt, wird der Beobachter im Zug feststellen, dass die Uhren am Bahnsteig zwar alle langsamer laufen als seine Uhr, aber die Uhren um so stärker vorgehen, je weiter vorne sie stehen. Dadurch vergleicht er seine Uhr immer mit einer neuen Uhr, die noch weiter vorgeht.

Abhängigkeit der Zeit vom Weg, Eigenzeit

Eine unmittelbare Folge der Zeitdilatation ist, dass die verstrichene Zeit vom Weg abhängt. Angenommen, jemand steigt in den Zug und fährt bis zur nächsten Station. Dort steigt er in einen Zug um, der wieder zum Ausgangspunkt zurückfährt. Ein anderer Beobachter hat in der Zwischenzeit dort am Bahnsteig gewartet. Nach der Rückkehr vergleichen sie ihre Uhren. Aus Sicht des zurückgebliebenen Beobachters hat nun der Reisende sowohl bei der Hinfahrt als auch bei der Rückfahrt eine Zeitdilatation erfahren. Somit geht dessen Uhr jetzt nach. Dies ist in sich widersprüchlich (paradox), da ja auch aus Sicht des Reisenden der Zurückgebliebene eine Zeitdilatation erfährt und lässt sich auch nicht damit erklären, dass der Reisende umgestiegen ist, also sein Bezugssystem gewechselt hat, denn gemäß dem Relativitätsprinzip ist ja keines der beiden Bezugssysteme gegenüber dem anderen bevorzugt. Dies ist ein Beispiel für einen Widerspruch innerhalb der speziellen Relativitätstheorie. Näheres siehe unter Zwillingsparadoxon.

Die Zeit, die jeder Beobachter auf seiner eigenen Uhr abliest, nennt man Eigenzeit. Es handelt sich dabei um die einzige Zeit, die eindeutig definiert werden kann.

Lorentzkontraktion

Wenden wir uns wieder dem Beobachter auf dem Bahnsteig zu. Als der Zug durchfährt, stellt er fest, dass im selben Moment, zu dem der Anfang des Zuges das vordere Ende des Bahnsteigs passiert, auch das hintere Ende des Zuges das hintere Ende des Bahnsteigs passiert. Er schließt, dass Zug und Bahnsteig gleich lang sind.

Für den Beobachter im Zug stellt sich die Situation aber ganz anders dar: Da das "hintere" Ereignis (das Zugende passiert das hintere Bahnsteigende) für ihn später passiert als das "vordere" (der Zuganfang passiert das vordere Bahnsteigende), schließt er, dass der Zug länger ist als der Bahnsteig, denn schließlich war das Zugende noch gar nicht am Bahnsteig angekommen, als der Zuganfang ihn schon wieder verlassen hat.

Somit ist für den Beobachter im Zug der Bahnsteig kürzer und/oder der Zug länger als für den Beobachter auf dem Bahnsteig. Das Relativitätsprinzip fordert, dass beides der Fall ist: Wenn aus Sicht des Zugfahrers der (bewegte) Bahnsteig verkürzt ist, dann muss auch aus Sicht des Bahnsteig-Beobachter der (bewegte) Zug verkürzt sein.

Diese Verkürzung bewegter Gegenstände nennt man Lorentzkontraktion.

Die Lorentzkontraktion gilt nur in Bewegungsrichtung, da ja senkrecht zur Bewegungsrichtung die Gleichzeitigkeit der Ereignisse in beiden Bezugssystemen übereinstimmt. Beide Beobachter sind sich also z.B. über die Höhe des Fahrdrahtes einig.

Relativistische Geschwindigkeitsaddition

Nehmen wir nun an, im Zug laufe eine Person, z.B. der Schaffner, mit konstanter Geschwindigkeit nach vorne. Wie schnell ist er nun vom Bahnsteig aus gesehen unterwegs? In der newtonschen Mechanik ist die Situation einfach: Der Zug legt in einer gegebenen Zeit eine bestimmte Strecke zurück, hinzu kommt die Strecke, die der Schaffner im Zug gegangen ist. Somit addiert sich die Geschwindigkeit des Schaffners im Zug einfach zur Geschwindigkeit des Zuges. Wenn also der Zug mit 100 km/h unterwegs ist und der Schaffner im Zug mit 1 km/h läuft, dann hat er relativ zum Bahnsteig 101 km/h.

In der Relativitätstheorie sieht die Sache jedoch anders aus. Vom Bahnsteig aus betrachtet ist die Zeit, die der Schaffner z.B. von einem Wagen zum nächsten braucht, wegen der Zeitdilatation länger als für den Zugreisenden. Zudem ist der Wagen selbst vom Bahnsteig aus gesehen lorentz-verkürzt. Hinzu kommt noch, dass der Schaffner nach vorne läuft, also das Ereignis "Erreichen des nächsten Wagens" weiter vorne im Zug stattfindet: Aufgrund der Relativität der Gleichzeitigkeit bedeutet dies, dass das Ereignis für den Beobachter am Bahnsteig später stattfindet, als für den Zugreisenden. Insgesamt ergeben also alle diese Effekte, dass die Geschwindigkeitsdifferenz des Schaffners zum Zug für den Beobachter am Bahnsteig geringer ist als für den Beobachter im Zug. Mit anderen Worten: Der Schaffner ist vom Bahnsteig aus gesehen langsamer unterwegs, als es die Addition der Geschwindigkeit des Zuges und der Geschwindigkeit des Schaffners vom Zug aus gesehen ergeben würde. Die Formel, mit der man diese Geschwindigkeit berechnet, heißt relativistisches Additionstheorem für Geschwindigkeiten.

Der Extremfall tritt auf, wenn man einen nach vorne laufenden Lichtstrahl betrachtet. In diesem Fall ist der Verlangsamungseffekt so stark, dass der Lichtstrahl auch vom Bahnsteig aus wieder Lichtgeschwindigkeit hat. Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist ja die Grundlage der Relativitätstheorie.

Nun kann der Schaffner aber im Zug nicht nur nach vorne laufen, sondern auch nach hinten. In diesem Fall ist das Ereignis "der Schaffner erreicht den nächsten Waggon" weiter hinten im Zug, und somit für den Bahnsteig-Beobachter relativ zum Zugreisenden "verfrüht", während die anderen Effekte immer noch "verlangsamend" wirken. Die Effekte heben sich gerade dann auf, wenn der Schaffner mit derselben Geschwindigkeit im Zug nach hinten rennt, wie der Zug fährt: In diesem Fall kommt auch die Relativitätstheorie zu dem Ergebnis, dass der Schaffner relativ zum Bahnsteig ruht. Für höhere Geschwindigkeiten nach hinten sieht der Beobachter am Bahnsteig nun ein höhere Geschwindigkeit, als er nach der klassischen Mechanik erwarten würde. Dies geht wieder bis zum Extremfall des nach hinten gerichteten Lichtstrahls, der wiederum auch vom Bahnsteig aus gesehen exakt mit Lichtgeschwindigkeit unterwegs ist.

Impulserhaltung und relativistische Masse

Im Bahnhof gibt es auch einen Spielsalon mit Billiardtischen. Auf einem ereignet sich, als der Zug vorbeifährt, gerade folgendes, aus Sicht des Beobachters am Bahnsteig geschildert: Zwei Billiardkugeln, die jeweils dieselbe absolute Geschwindigkeit wie der Zug haben, sich aber senkrecht zum Gleis aufeinander zu bewegen, stoßen völlig elastisch (aber nicht zentral) zusammen, und zwar so, dass die Verbindungsgerade ihrer Mittelpunkte mit ihrer Bewegungsrichtung den Winkel 45° bildet. Durch den Zusammenstoß ändern sie nun ihre Richtung gerade parallel zum Gleis, so dass sie – immer noch gleich schnell – nun in Richtung des Zuges und in Gegenrichtung weiterrollen.

Das folgende Bild zeigt diesen Stoß noch einmal zur Verdeutlichung:

In der klassischen Mechanik ist der Impuls eines Objekts definiert als das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit des Objekts. Der Gesamtimpuls, der sich durch einfaches Addieren der Einzelimpulse ergibt, ist eine Erhaltungsgröße. In der Tat ist beim obigen Stoß der so definierte Impuls aus Bahnsteig-Sicht erhalten: Da die Kugeln sich sowohl vor als auch nach dem Stoß mit gegengleicher Geschwindigkeit bewegen, ist der so definierte Impuls vor wie nach dem Stoß Null.

Betrachten wir nun aber das Billiardspiel aus dem Zug. Vor dem Stoß rollen die Kugeln schräg aufeinander zu: Parallel zum Gleis haben beide die Geschwindigkeit des Bahnsteiges (da sie sich ja mit dem Bahnsteig mitbewegen), und senkrecht zum Gleis haben sie einander entgegengesetzte Geschwindigkeiten (diese Komponente beruht auf der Bewegung der Kugeln relativ zum Bahnsteig senkrecht zum Zug). Ihr Impuls senkrecht zum Gleis ist also null, parallel zum Gleis ist der Gesamtimpuls 2 mal Kugelmasse mal Bahnsteiggeschwindigkeit.

Nach dem Stoß hat nun die eine Kugel die Geschwindigkeit – und damit auch der Impuls – null (wir erinnern uns: aus Bahnsteigsicht ist sie mit Zuggeschwindigkeit in Zugrichtung unterwegs gewesen), somit muss nun die andere Kugel den gesamten Impuls tragen. Um die Geschwindigkeit der anderen Kugel zu bestimmen, müssen wir jedoch nun die im vorigen Abschnitt betrachtete relativistische Geschwindigkeitsaddition verwenden, und wie oben dargelegt, hat diese Kugel nun eine geringere Geschwindigkeit als das doppelte der Bahnsteiggeschwindigkeit (= Zuggeschwindigkeit). Wenn nun also der Impuls erhalten sein soll, dann muss, damit das Produkt wieder gleich ist, ihre Masse größer sein als die Massen der Kugeln vor dem Stoß. Nun handelt es sich aber gerade um eine der beiden genannten Kugeln, das einzige, was sich geändert hat, ist ihre Geschwindigkeit, die höher ist als die Geschwindigkeit vor dem Stoß. Demnach muss, wenn man den Impuls weiterhin als Masse mal Geschwindigkeit definieren will, die Masse mit der Geschwindigkeit zunehmen.

In der Tat kann man durch Verwendung einer geschwindigkeitsabhängigen Masse in der Formel für den Impuls die Impulserhaltung retten. Diesen Massenterm nennt man relativistische Masse. Es ist zu beachten, dass diese Masse nicht im Trägheitsgesetz F=m·a verwendet werden kann, näheres siehe im Artikel Masse.

Die relativistische Masse eines Körpers für Geschwindigkeit null nennt man auch seine Ruhemasse. Mit zunehmendem Betrag der Geschwindigkeit nimmt auch die relativistische Masse des Körpers zu. Geht die Geschwindigkeit gegen die Lichtgeschwindigkeit, so geht die Masse – und damit auch der Impuls – gegen unendlich.

Äquivalenz von Masse und Energie

Eine weitere Folge der Relativitätstheorie ist die Äquivalenz von Masse und Energie. Diese besagt, dass die Energie E proportional zur Masse m ist, wobei die Proportionalitätskonstante (c2) eine universelle, nicht vom Objekt, seiner Geschwindigkeit oder anderen Dingen abhängige Konstante ist. Somit handelt es sich um eine Äquivalenz beider Größen: Die Angabe einer der beiden Größen ist gleichbedeutend mit der Angabe der anderen. Diese Äquivalenz lässt sich aus der Definition des relativistischen Impulses herleiten, jedoch gibt es kein einfaches Gedankenexperiment, aus dem man sie ohne explizite Rechnung verstehen könnte.

Die Formel für die Masse-Energie-Äquivalenz gehört zu den berühmtesten Formeln der Physik:

Die Formel hat insbesondere deshalb Bedeutung, weil sie nicht nur die kinetische Energie, sondern jede Energieform mit einer Masse verknüpft, und umgekehrt. Beispielsweise haben die Nukleonen des Atomkerns als freie Teilchen eine höhere Masse als der aus ihnen zusammengesetzte Kern, weil die (negative) Bindungsenergie auch zur Masse beiträgt (Massendefekt). Umgekehrt kann jede Masse in andere Energieformen umgewandelt werden (z.B. wird bei der Annihilation von Materie und Antimaterie die gesamte Masse in Strahlungsenergie umgesetzt).

Von Raum und Zeit zur Raumzeit

Angesichts der oben erläuterten relativistischen Effekte stellt sich natürlich die Frage, wie diese Effekte zu interpretieren sind. Betrachtet man die Bewegung eines Beobachters im Raum-Zeit-Diagramm (Minkowski-Diagramm), so erkennt man, dass der Wechsel des Bezugssystem (sowohl klassisch-mechanisch als auch relativistisch) mit einem "Kippen" der Zeitachse einhergeht. Dieses beschreibt die "Relativität der Gleichortigkeit": Während der Beobachter im Zug feststellt, dass z.B. sein Koffer über ihm im Gepäcknetz die ganze Zeit am selben Ort bleibt, ist für den Beobachter am Bahnsteig klar, dass sich derselbe Koffer mit dem Zug mitbewegt, mithin also gerade nicht am selben Ort bleibt. Was die Relativitätstheorie von Newtons Raum und Zeit unterscheidet, ist die Tatsache, dass für zueinander bewegte Bezugssysteme auch die Gleichzeitigkeit relativ ist, wie oben beschrieben. Dies führt dazu, dass gleichzeitig mit der Zeitachse auch die Ortsachse gekippt wird.

Nun ist eine Bewegung, in der zwei Koordinatenachsen geändert werden, wohlbekannt: die Drehung im Raum. Daher ist es logisch, auch den Bezugssystemwechsel als eine Art Drehung in Raum und Zeit zu verstehen, wie folgendes Bild verdeutlicht:

Allerdings gibt es, wie auf dem Bild ebenfalls zu erkennen ist, einen wesentlichen Unterschied zwischen Drehungen im Raum und Bezugssystemwechseln: Während bei Drehungen im Raum beide Achsen in die selbe Richtung gedreht werden, werden bei Bezugssystemwechsel Ortsachse und Zeitachse in die entgegengesetzte Richtung gedreht. Dies führt dazu, dass sich die Diagonalen (im Bild gestrichelt) nicht ändern. Die Diagonalen beschreiben aber gerade den Weg des Lichtes, ihre Unveränderlichkeit bei Bezugssystemwechsel bedeutet also gerade, dass die Lichtgeschwindigkeit konstant ist.

Wenn nun aber der Bezugssystemwechsel eine Art Drehung in Raum und Zeit ist, dann müssen, damit so etwas überhaupt sinnvoll ist, Raum und Zeit eine Einheit bilden, so wie Länge, Breite und Höhe eine Einheit bilden, nämlich den Raum. Diese Einheit aus Raum und Zeit nennt man Raumzeit (siehe dazu auch Lorentz-Transformation und Minkowski-Raum). Es ist damit nicht mehr möglich, eine ganz bestimmte Richtung unabhängig vom Beobachter als die Zeitrichtung anzugeben, genauso wie es im Raum kein eindeutiges (beobachterunabhängiges) vorne gibt. So laufen z.B. sowohl die schwarze Zeitachse, als auch die gelbe "gedrehte" Zeitachse in Zeitrichtung. Allerdings ist es – im Unterschied zum normalen Raum – in der Raumzeit nicht möglich, die Zeitrichtung bis auf die Raumrichtung zu drehen, oder sich gar in der Zeit umzudrehen, also Vergangenheit und Zukunft zu vertauschen.

Bei genauerer Betrachtung der Drehung (linkes Bild) sieht man, dass jedes Koordinatenquadrat wieder in ein gleichgroßes Quadrat übergeführt wird (das gedrehte Quadrat oben rechts vom Ursprung ist im Bild schraffiert). Zudem ist der Schnittpunkt der gedrehten y-Achse (gelbe Linie) mit dem Schnittpunkt der gedrehten ersten Parallelen der x-Achse (hellbraune Linie) gleich weit entfernt vom Ursprung wie der ungedrehte Schnittpunkt. Der y-Wert dieses Schnittpunktes ist hingegen kleiner als für den ungedrehten Schnittpunkt. Dies führt zum Phänomen der perspektivischen Verkürzung, wenn die Linie aus x-Richtung angeschaut wird.

Betrachtet man nun analog das rechte Bild, so sieht man, dass auch hier das Koordinatenquadrat in eine gleichgroße Fläche überführt wird. Nur hat das in diesem Fall die Auswirkung, dass der Schnittpunkt der "gedrehten" Zeitachse (gelb) mit der nächsten Parallelen der gedrehten Raumachse (hellbraun) höher, also später liegt, als im ungedrehten Fall. Nehmen wir nun an, die Raumachsen werden bei jedem Tick einer Uhr "gesetzt", so sieht man sofort, dass die Uhr im "gedrehten" Koordinatensystem, also die relativ zum Beobachter bewegte Uhr, anscheinend langsamer geht (zwischen zwei Ticks vergeht mehr Zeit des Beobachters). Auch wird aus der Analogie zur Drehung klar, dass es sich auch hierbei nur um einen "perspektivischen" Effekt handelt. Damit erklärt sich auch ganz zwanglos der scheinbare Widerspruch, dass beide Beobachter die Uhr des jeweils anderen langsamer laufen sehen: Auch die perspektivische Verkürzung wird wechselseitig wahrgenommen, ohne dass das zu Widersprüchen führen würde, wie das folgende Bild illustriert:

(Bild: Illustration der wechselseitigen perspektivischen Verkürzung - noch zu zeichnen)

Ein wesentlicher Unterschied des Bezugssystemwechsels zur Drehung ist jedoch, dass für Zeiten statt einer Verkürzung eine Verlängerung (Verlangsamung: Zeitdilatation) wahrgenommen wird. Dies kann man an obiger Gegenüberstellung gut erkennen: Bei der Drehung im Raum wandert der Schnittpunkt der gelben und der hellbraunen Linie nach unten (perspektivische Verkürzung), beim Bezugssystemwechsel hingegen nach oben.

Das Zwillingsparadoxon entpuppt sich in dieser Betrachtung als Raumzeitanalogon zur Dreiecksungleichung, wie die folgende Gegenüberstellung zeigt:

Die Tatsache, dass beim Bezugssystemwechsen statt einer perspektivischen Verkürzung eine Verlängerung (Dilatation) auftritt, zeigt sich hier im umgekehrten Vorzeichen der Ungleichung: Während im Raum der gerade Weg der kürzeste ist, ist er in der Raumzeit der mit der längsten Eigenzeit.

Relativitätstheorie bei geringen Geschwindigkeiten

Normalerweise wird angenommen, die Relativitätstheorie werde nur bei sehr hohen Geschwindigkeiten relevant. Das folgende Beispiel zeigt, dass in bestimmten Fällen bereits bei geringen Geschwindigkeiten sichtbare Unterschiede resultieren. (Hinweis: Dieser Abschnitt benötigt zum Verständnis Grundkenntnisse im Bereich des Elektromagnetismus.)

Ein Elektron (ein elektrisch negativ geladenes Teilchen) bewege sich parallel zu einem ruhenden, ladungsneutralen Draht, in dem ein elektrischer Strom fließt, wobei die Elektronen innerhalb des Drahtes sich mit derselben Geschwindigkeit in dieselbe Richtung bewegen, wie das einzelne Elektron außerhalb.

Aufgrund des Stromes hat der Draht ein Magnetfeld, und da sich das Elektron senkrecht zum Magnetfeld bewegt, wird es durch die Lorentzkraft zum Draht hingezogen, wie das folgende Bild zeigt.

(Bild: Elektron neben dem Draht; noch zu zeichnen)

Betrachten wir das System im Bezugssystem des Elektrons, dann hat der Leiter zwar immer noch ein Magnetfeld (weil zwar dessem Elektronen ruhen, aber dafür der positiv geladene Rest aus Atomrümpfen sich bewegt), aber da das Elektron relativ zu sich selbst natürlich ruht, erfährt es auch keine Lorentzkraft. Wir haben also scheinbar ein Problem.

Berücksichtigt man jedoch die Aussagen der Relativitätstheorie, so stellt man fest:

Im Elektronen-Bezugssystem haben wir also pro Volumen weniger elektrisch negative Elektronen und mehr elektrisch positive Atomrümpfe als im Draht-Bezugssystem. Da im Draht-Bezugssystem aber von beiden gleich viel vorhanden war (der Draht war ja nach Voraussetzung insgesamt ungeladen), überwiegt im Elektron-Bezugssystem die positive Ladung, d.h. der Draht ist positiv geladen. Da sich positive und negative Ladungen gegenseitig anziehen, ist es klar, dass das Elektron zum Draht hingezogen wird.

Diese Betrachtung gilt bereits für kleine Geschwindigkeiten.

Anwendung der Speziellen Relativitätstheorie in der Quantenmechanik

Paul Dirac entwickelte eine Wellengleichung, die Dirac-Gleichung, die das Verhalten von Elektronen unter Berücksichtigung der Speziellen Relativitätstheorie in der Quantenmechanik beschreibt.

Diese Gleichung führt zur Beschreibung des Spins und der Vorhersage des Positrons als Antiteilchen des Elektrons.

Siehe auch

Weblinks

Literatur




     
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