Raumzeit
In der Relativitätstheorie werden Raum und Zeit zu einem einheitlichen vierdimensionalen Gebilde verschmolzen, in dem die räumlichen und zeitlichen Koordinaten bei Transformation in andere Bezugssysteme gegeneinander vermischt werden können. Zwar lässt sich ein absolut gültiger Abstandsbegriff für Raumzeitpunkte ("Ereignisse") definieren, jedoch ist es vom Bewegungszustand des Beobachters abhängig, was davon als räumlicher und zeitlicher Abstand erscheint.Die 4 dimensionale Raumzeit wird manchmal auch kurz Zaum genannt ("Z" für 1 Dimension Zeit und "aum" für 3 Dimensionen Raum).
Table of contents |
2 Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie 3 Symmetrien |
In der speziellen Relativitätstheorie werden die dreidimensionalen Raumkoordinaten (x,y,z) um eine Zeitkomponente ict erweitert, also (x,y,z,ict). Dieses Koordinatensystem kennzeichnet die Raumzeit.
Die Zeitkomponente wird als komplexe Zahl dargestellt. Kennzeichen einer komplexen Zahl mit rein imaginärem Anteil wie ict ist, dass ihr Quadrat negativ ist. Im Falle von ict ist das Quadrat -c2t2. Bewegt sich ein Bezugssystem gegenüber demjenigen eines Beobachters beispielsweise in x-Richtung mit der Geschwindigkeit v, so erscheinen die Koordinaten in diesem System zu dem Originalsystem in der x-ict-Ebene gedreht. Wegen der komplexen Eigenschaft wird die Zeitachse entgegengesetzt zur x-Achse gedreht. Der Winkel ist
Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie
Die x-Koordinate ist verkleinert (Längenkontraktion), eine zusätzliche Zeitkomponente tritt hinzu (Zeitdilatation). Ein Teil der Raumkomponente ist also in die Zeitkomponente übergegangen. Dies entspricht der Lorentztransformation.
Der vierdimensionale Abstand (Wurzel der Summe aller Quadrate der Koordinaten) beträgt in beiden Bezugssystemen und bleibt daher konstant (das Minuszeichen ergibt sich aus der komplexen Eigenschaft von ict). Bei Drehungen bleiben Abstände wie üblich unverändert. Für Licht, das sich vom Ursprung mit der Geschwindigkeit c fortbewegt, gilt für alle Zeiten und Bezugssysteme r=0. Daraus ergibt sich die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, das Ausgangsprinzip der speziellen Relativitätstheorie.
Dieser Abstand entspricht bis auf den Faktor c der Eigenzeit, die für einen Beobachter verstreicht, für den die Ereignisse (0,0,0,0) und (x,y,z,t) am selben Ort stattfinden, der sich also mit konstanter Geschwindigkeit von einem Ereignis zum andern bewegt. Für den Fall, dass der Ausdruck unter der Wurzel negativ ist, ist lassen sich diese beiden Ereignisse nicht durch ein Signal mit Unterlichtgeschwindigkeit verbinden. Sie können daher nicht kausal miteinander verknüpft sein.
Im Minkowski-Diagramm können die Verhältnisse geometrisch dargestellt und analysiert werden. Wegen der komplexen Eigenschaft der Zeitkomponente wird dort die Drehung der Zeitachse mit umgekehrtem Vorzeichen wie die Drehung der Koordinatenachse dargestellt.
Grundlage zur Beschreibung der Raumzeit (ct,x,y,z) in der allgemeinen Relativitätstheorie sind die nichteuklidischen Geometrien. Die Koordinatenachsen sind hier nichtlinear, was als Raumkrümmung interpretiert werden kann. Für die vierdimensionale Raumzeit werden die gleichen mathematischen Hilfsmittel wie zur Beschreibung einer zweidimensionalen Kugeloberfläche oder für Sattelflächen herangezogen. Als unumstößlich angesehene Aussagen der euklidischen Geometrie, insbesondere das Parallelenaxiom, müssen in diesen Theorien aufgegeben werden. Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist hier beispielsweise keine Gerade mehr. Sie wird Geodäte genannt, im Falle einer Kugeloberfäche sind die Geodäten die Großkreise. Die Winkelsumme im - aus Geodätenabschnitten bestehenden - Dreieck ist auch nicht mehr 180 Grad. Im Falle der Kugeloberfläche ist sie größer als 180 Grad, im Falle von Sattelflächen dagegen kleiner.
Die Raumkrümmung wird durch Massen verursacht, die daraus resultierende krummlinige Bewegung von kräftefreien Körpern entlang der Geodäten wird der Gravitationsbeschleunigung bzw. -kraft zugeschrieben, die damit zur Scheinkraft wird. In einem kleinen Raumabschnitt ist das erzeugte Gravitationsfeld näherungsweise konstant. Dies wird durch eine konstante Raumkrümmung mit dem Faktor g/c2 beschrieben. Die Krümmung der Weltlinien (Bewegungskurven in der Raumzeit) aller kräftefreien Körper in diesem Raumabschnitt ist gleich.
Im normalen, dreidimensionalen Raum ist nur die Projektion der Weltlinien auf die Bewegungsebene sichtbar. Hat der Körper die Geschwindigkeit v, so ist die Weltlinie gegenüber der Zeitachse geneigt, und zwar um den Winkel . Die Projektion der Bahn wird mit steigendem v um den Faktor länger, der Krümmungsradius um den gleichen Faktor größer, die Winkeländerung also kleiner. Die Krümmung (Winkeländerung pro Längenabschnitt) ist daher um den Faktor kleiner.
Mit
Für kleine Geschwindigkeiten v<
Die Raumzeit ist charakterisiert durch eine Anzahl von Symmetrien, die sehr wichtig für die darin geltende Physik sind. Zu diesen Symmetrien zählen neben den Symmetrien des Raumes (Translation, Rotation) auch die Symmetrien unter Lorentztransformationen (Wechsel zwischen Bezugssystemen verschiedener Geschwindigkeit). Letzteres stellt das Relativitätsprinzip sicher.
Abstand
Minkowski Diagramm
Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie
Nichteuklidische Geometrien
Raumkrümmung
folgt dann aus der Weltlinienkrümmung g/c2 für die beobachtete Bahnkrümmung im dreidimensionalen RaumRaumkrümmung und Zentrifugalbeschleunigung
Symmetrien