Relativistisches Additionstheorem für Geschwindigkeiten
In der klassischen Physik werden Geschwindigkeiten vektoriell addiert. Nach der speziellen Relativitätstheorie folgt wegen der Relativität der Zeit und der Länge die Überlagerung von Geschwindigkeiten einem anderen Gesetz:Das System S’ bewege sich relativ zum System S mit der Geschwindigkeit vx in Richtung der X-Achse. Im System S’ bewege sich ein Körper mit der Geschwindigkeit u’ (Komponenten: u’x, u’y, u’z). Dann hat dieser Körper für einen Beobachter in S die Geschwindigkeitskomponenten
Table of contents |
2 Beweis des Additionstheorems für Geschwindigkeiten 3 Folgerungen 4 Weblinks |
Für den Tangens Hyperbolicus gilt das Additionstheorem.
Rapidität
Die Größe
heißt Rapidität. Für
erhält man durch Einsetzen in das Additionstheorem des Tangens Hyperbolicus die Komponente ux:
In Bewegungsrichtung addieren sich also die Rapiditäten. Quer zur Bewegungsrichtung muss wie üblich die Zeitdilatation berücksichtigt werden.
Es ist
Als Folge dieses Additionstheorems kann auch durch Überlagerung zweier Geschwindigkeiten die Lichtgeschwindigkeit nicht übertroffen werden.
Es sei
Ist die Geschwindigkeit im System S' gleich der Lichtgeschwindigkeit, dann ist sie es auch im System S.
Ist z.B.
Beweis des Additionstheorems für Geschwindigkeiten
Durch Anwendung der Lorentz-Transformation auf die Ortskoordinaten und dann auf die Zeit erhält man
Durch Einsetzen in die darüberstehenden Gleichungen ergeben sich die Additionstheoreme.Folgerungen
Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit
Dann ist
und nicht etwa 1.8c.Erhaltung der Lichtgeschwindigkeit
dann ist
also insbesondere
Weblinks