Minkowski-Diagramm
Das nach Hermann Minkowski benannte Minkowski-Diagramm ist eine Darstellung der Raumzeit auf zwei Dimensionen. Es dient zur Veranschaulichung der Effekte der speziellen Relativitätstheorie.
Minkowski-Diagramm
Minkowski-Diagramm für die Galilei-Transformation
Minkowski-Diagramm für die Lorentz-Transformation, Beobachter 1
Minkowski-Diagramm für die Lorentz-Transformation, Beobachter 2
Table of contents |
2 Galilei-Transformation im Minkowski-Diagramm 3 Lorentz-Transformation im Minkowski-Diagramm 4 Überlichtgeschwindigkeit und Zeitreise in der SRT |
Photonen, die vom Ursprung ausgehen, entfernen sich mit Lichtgeschwindigkeit. Auf der Zeitachse wird meist zweckmäßigerweise ct anstelle von t aufgetragen, wobei c die Lichtgeschwindigkeit bezeichnet. Wegen x=ct sind Lichtstahlen damit 45°-Geraden im Diagramm. In vielen Bereichen der theoretischen Physik ist es übrigens üblich, c=1 zu setzen, was durch eine Redefinition der grundlegenden Einheiten erreicht werden kann. Die Menge der von einem Punkt ausgehenden Lichtstrahlen werden oftmals auch als Lichtkegel bezeichnet.
Photonen, die im Punkt genau in der Mitte eintreffen (also der Standort des Beobachters, sozusagen das "Hier-und-jetzt") sind entlang der blauen Linien von unten gekommen. Da Zeit gegen Raum aufgetragen ist, entspricht die Schiefe einer Linie einer Geschwindigkeit. Die Lichtgeschwindigkeit ist in den Beispielen der 45-Grad Winkel, alle steileren Linien sind langsamer, alle flacheren schneller.
Der Bereich oben zwischen den blauen Linien ist der, den wir mit Signalen erreichen und
so beeinflussen können. Er wird im Minkowskidiagramm mit "Zukunft"
bezeichnet. Der entgengesetzte Bereich ist die Region der Raumzeit,
aus der uns Signale erreichen können, er ist als "Vergangenheit"
definiert.
Der Bereich außerhalb dieses Lichtkegels ist das "absolute Anderswo",
Dinge die dort sind, können keinen Einfluss auf das
"Hier-und-jetzt" des Beobachters haben, und umgekehrt.
Die rote senkrechte Linie zeigt die Position des Beobachters, der das
Diagramm zeichnet. Wenn er sich nicht bewegt, war er
in der Vergangenheit "hier" und bleibt er auch in der Zukunft "hier".
Ereignisse, die nach seiner Messung gleichzeitig stattfinden, liegen
in der Raum-Zeit alle auf der waagrechten roten Linie. Die ist also
seine persönliche "Gleichzeitigkeit".
Bis hierher ist das Diagramm auch für Newtonschesche Dynamik
gültig. Die Besonderheiten der speziellen Relativitätstheorie
ergeben sich erst beim Vergleich zweier sich gegeneinander bewegender
Beobachter. Ein zweiter Beobachter bewege sich also mit der
Geschwindigkeit v gegen den ersten.
Im Newtonschen Bild geschieht der Vergleich mit Hilfe der
Galilei-Transformation, nach der sich Geschwindigkeiten linear
aufaddieren. Da es sich immer entscheiden lässt, welcher Beobachter sich tatsächlich in Ruhe befindet, bleibt die Achse gleicher Zeit
fest (Wenn es sich nicht entscheiden ließe, kommt man automatisch
zur speziellen Relativitätstheorie, so wurde sie auch
tatsächlich von Einstein gefunden). Ein einziges Diagramm gilt absolut für alle Beobachter. Der andere Beobachter ist
sich seiner Bewegung bewusst. Er bewegt sich auf der
violetten Linie. Lichtstrahlen, die er aussendet, bewegen sich mit c
vom ihm fort. Je nach Richtung, in die er sie sendet, bewegen die
Lichstrahlen sich relativ zum ersten Beobachter mit c-v oder c+v. Es
wurde vielfach versucht, einen solchen Unterschied zu messen, das
Michelson-Morley-Experiment und seine Nachfolger sind nur die
bekanntesten Vertreter dieser Experimente. Der Nachweis einer von c
abweichenden Geschwindigkeit des Lichtes, egal unter welchen Voraussetzungen, gelang nicht.
Dies begründete das absolute Relativitätsprinzip, nach dem jeder der
beiden Beobachter mit gleichem Recht von sich behaupten kann, er
befinde sich in Ruhe. Es ist prinzipiell (auch einem allwissenden
Dämon) nicht möglich einem der beiden mehr Recht zu geben als dem
anderen. Wenn also alle Beobachter Licht immer mit der Geschwindigkeit
c messen (was, wie gesagt, experimentell bestätigt ist), dann sind
es die blauen Linien im Minkowski-Diagramm, die sich nicht ändern dürfen.
Und nicht nur das, jeder Beobachter glaubt mit vollem Recht, das seine
"Hier"-Achse in immergleichem Winkel zu den blauen Linien steht
und diese auf genau halbem Wege zu seiner "Jetzt"-Achse
liegen. Das heißt für Beobachter zwei sieht genau dieselbe Situation
anders aus, und zwar symmetrisch vertauscht. Jeder Beobachter zeichnet sich also gleichberechtigt sein eigenes Diagramm.
Wenn sich Beobachter zwei (lila Linien) relativ zu Beobachter
eins (rote Linien) bewegt, drehen sich sowohl sein "Hier" als auch
sein "Jetzt" auf die blaue Linie zu. Dieser Effekt wird mathemathisch
durch die Lorentz-Transformation beschrieben. Er hat auch sehr gut
nachgewiesene Auswirkungen, nämlich die so genannte Raum- und
Zeitdilatation, nach der z.B. die Zeit für ein sich gegen Beobachter
eins bewegendes Objekt langsamer vergeht. Beispielsweise die
Großexperimente der Teilchenphysik bestätigen die
Dilatationseffekte aufs genaueste.
An den Minkowski-Diagrammen lässt sich unmittelbar die Äquivalenz der
Überlichtgeschwindigkeit mit der Zeitreise ablesen: Die Überlichtreise sei instantan, also eine Ortsverschiebung auf der Gleichzeitigkeitsachse (Es funktioniert
prinzipiell auch, wenn man einen Versatz postuliert, ist dann aber
umständlicher zu erklären). Der Beobachter (rot) in der Abbildung
"Minkowski-Diagramm für die Lorentz-Transformation, Beobachter 1"
versetzt sich nach rechts auf seiner Gleichzeitigkeitsachse. Dann muss
er beschleunigen, so dass seine Gleichzeitigkeitsachse kippt (so wie
bei Beobachter lila) und seine alte Ortsachse schneidet. Nun muss
er sich nur auf seiner jetzigen Gleichzeitigkeitsachse zurückversetzen
(also nach links), und kommt damit in seiner eigenen Vergangenheit
heraus. Da hiermit alle bekannten Zeitreiseparadoxa möglich
würden, verbietet sich dieser Ablauf von selbst.Prinzip des Diagramms
Da sich drei Raum- und eine Zeitdimension nicht mehr innerhalb eines Diagramms darstellen lassen, beschränkt man sich bei Minkowski-Diagrammen auf eine Raumrichtung, die auf die x-Achse aufgetragen wird. Die Zeit t wird auf die y-Achse aufgetragen.Galilei-Transformation im Minkowski-Diagramm
Lorentz-Transformation im Minkowski-Diagramm
Überlichtgeschwindigkeit und Zeitreise in der SRT