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Spin



Der Spin (von engl. spin, Drehung, Drall) oder Eigendrehimpuls ist eine quantenmechanische Eigenschaft von Elementarteilchen. Der Spin wird als "Eigendrehimpuls" bezeichnet, da Spin und (klassischer) Drehimpuls eine gemeinsame Eigenschaft besitzen: Unter der Symmetriegruppe von Rotationen in der Raum-Zeit zeigt der Spin ein ähnliches Verhalten wie der Drehimpuls.

Das Wort "Eigendrehimpuls" impliziert fälschlicherweise, dass der Spin aus einer Rotation des Elementarteilchens hervorgehe. Das ist jedoch nicht der Fall; der Spin ist eine intrinsische Eigenschaft von Elementarteilchen, genau so wie Masse oder Ladung, und kann nicht auf elementarere Eigenschaften zurückgeführt werden.

Table of contents
1 Spin, Spinquantenzahl und Spineigenzustand
2 Spin als Erhaltungsgröße
3 Spin und Magnetisches Moment
4 Spin und Statistik
5 Geschichte

Spin, Spinquantenzahl und Spineigenzustand

Eine Eigenschaft eines Objektes ist nur dann von Bedeutung, wenn sie auch sichtbar wird. Ein in der Quantenmechanik durch seine Wellenfunktion (oder den Zustandsvektor) gegebenes Objekt wird bei einer Messung in einen Eigenzustand mit assoziiertem Eigenwert geworfen.

Beim Spin bedeutet dies, dass die möglichen Spineigenzustände des Elementarteilchens, zusammen mit den Spineigenwerten, bestimmt werden müssen. Die Spineigenzustände und -eigenwerte sind - in Analogie zur quantenmechanischen Behandlung des Drehimpulses - Lösungen der folgenden Eigenwertgleichungen:

Dabei sind und die Spinoperatoren und s und sz die Spinquantenzahl und die magnetische Spinquantenzahl. Man sagt auch vereinfachend, das Teilchen habe den Spin s oder es sei ein Spin-s-Teilchen. Eine wichtige Eigenschaft des Spins ist, dass nur diskrete Werte möglich sind, im Gegensatz zum Drehimpuls aber auch halbzahlige: Ein Teilchen kann einen Spin von 0, von 1/2, von 1 (und so weiter, in Schritten von 1/2) haben.

Die Spinquantenzahl s eines Elementarteilchens ist fest vorgegeben und kann sich nicht ändern. Die möglichen sz-Werte ergeben sich dann zu

Das heißt, dass ein Spin-0-Teilchen nur einen Eigenwert () bzgl. Sz besitzt. Ein Spin-1/2-Teilchen hat zwei Eigenwerte () und allgemein hat ein Spin-s-Teilchen 2s+1 Eigenwerte bzgl. Sz.

Die Zustände des Spins werden durch 2s+1-komponentige Spinoren dargestellt. Statt im Spinorraum wird aber meistens im Spinraum gerechnet. Ein Spinor lässt sich nach den Basisvektoren des Spinraumes entwickeln:

Im Spinraum werden die Spinoperatoren durch Matrizen und die Zustände durch Vektoren dargestellt.

Spin als Erhaltungsgröße

Die Spinquantenzahl s eines Elementarteilchens ist unveränderlich, die Spinausrichtung allerdings nicht. Auch der Gesamtspin eines Systems aus mehrern Teilchen ist keine Erhaltungsgröße, sondern nur sein Gesamtdrehimpuls. Wenn also Reaktionen etwa in der Atomphysik beobachtet werden, dann ist die Summe aller Drehimpulseigenwerte vor und nach der Reaktion die gleiche.

Spin und Magnetisches Moment

Der Spin eines Elementarteilchens kann über das mit ihm assoziierte magnetische Moment gemessen werden. Über dieses magnetische Moment kann der Spin in Wechselwirkung mit magnetischen Feldern treten, so dass ein Teilchen je nach Ausrichtung seines Spin in einem Magnetfeld unterschiedliche Energiemengen enthält. Im Atom treten auf diese Weise Wechselwirkungen zwischen Elektron und Atomkern oder zwischen verschiedenen Elektronen auf. Diese Wechselwirkung wird technisch in Kernspintomografen ausgenutzt. (Der Kernspin selbst ist allerdings kein Spin im eigentlichen Sinne, sondern der Gesamtdrehimpuls des Kerns.)

Spin und Statistik

Man gruppiert Elementarteilchen nach ihrem Spin in Bosonen (ganzzahliger Spin) und Fermionen (halbzahliger Spin). Der Grund ist, dass Bosonen und Fermionen ein unterschiedliches Symmetrieverhalten unter Rotationen zeigen: Die Wellenfunktion eines Bosons geht unter einer Rotation von 360° in sich selbst über. Bei einem Fermion entsteht bei einer Rotation um 360° jedoch nicht die identische Wellenfunktion, sondern erst bei einer Rotation um 720°.

Dies ist der letztendliche Grund, dass für Fermionen das Pauli-Prinzip gilt. Vertauscht man zwei Fermionen, negiert sich das Vorzeichen der Gesamtwellenfunktion des Systems, während die Vertauschung zweier Bosonen das Gesamtsystem unbeeinflusst lässt. Die Folge ist, dass sich zwei Fermionen nie im selben Zustand aufhalten können, zwei Bosonen hingegen schon.

Dem Spin-Statistik-Theorem entsprechend werden Fermionen in der Fermi-Dirac-Statistik, Bosonen in der Bose-Einstein-Statistik beschrieben.

Geschichte

Im Zusammenhang mit der Messung von Emissionsspektren von Alkalimetallen wurde der Spin erstmals bemerkt. Wolfgang Pauli schlug 1924 einen quantenmechanischen Freiheitsgrad, der zwei Werte annehmen kann, für das Elektron vor; hierdurch konnte er begründen, dass genau zwei Elektronen ein Atomorbital teilen (siehe auch Atommodell).

Ralph Kronig, ein Assistent Alfred Lande's, schlug 1925 vor, dieser unbekannte Freiheitsgrad werde von der Eigenrotation des Elektrons hervorgerufen. Aufgrund Paulis Kritik an dieser Idee blieb Kronigs Vorschlag unveröffentlicht.

Im Jahre 1927 formulierte Wolfgang Pauli eine Quantentheorie des Spins für das Elektron. Mit Hilfe der Pauli-Matrizen konnte er Elektronen als 2-komponentige Spinoren darstellen.

1928 erweiterte Paul Dirac die Spin-Beschreibung durch die Dirac-Gleichung, in der neben dem Spin auch die relativistischen Eigenschaften des Elektrons berücksichtigt sind. Als Nebenprodukt brachte Dirac auch noch das Positron (damals noch nicht als solches erkannt) in der Theorie unter.




     
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