Ellipse (Mathematik)
Eine Ellipse ist in der Geometrie definiert als die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten, den Brennpunkten F1 und F2, konstant gleich 2a ist.
Die Punkte A und B werden Hauptscheitel genannt, a ist der Abstand zwischen Mittelpunkt und einem Hauptscheitel. Die Verbindungslinie von A und B heißt Hauptachse. Analog sind C und D die Nebenscheitel, b ihr Abstand vom Mittelpunkt und die Verbindungslinie die Nebenachse. Die Hauptscheitel sind die Punkte mit dem größten Abstand vom Mittelpunkt, die Nebenscheitel diejenigen mit dem kleinsten. Haupt- und Nebenachse sind zu einander orthogonal .
Die Brennpunkte liegen im Abstand e, der linearen Exzentrizität, vom Mittelpunkt auf der Hauptachse. Die numerische Exzentrizität ist ein dimensionsloser Wert, der sich wie folgt ergibt:
Die Decken mancher Höhlen ähneln einer Hälfte einer Ellipse. Befindet man sich in einem Brennpunkt dieser Ellipse, hört man jedes Geräusch, dessen Ursprung im zweiten Brennpunkt liegt, stark verstärkt ("Flüstergewölbe").
Zwischen a, b und e gilt laut Satz von Pythagoras der Zusammenhang: a²=b²+e².
Die Ellipse ist ein Kegelschnitt, der entsteht, wenn der Schnittwinkel zwischen Ebene und Kegelachse größer als der Öffnungswinkel des Doppelkegels ist. Der Kreis ist ein Sonderfall der Ellipse.
Zwei Ellipsen mit den selben Brennpunkten, nennt man konfokal.
Eine Ellipse, deren Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt und deren Hauptachse mit der x-Achse zusammen fällt, nennt man Ellipse in 1. Hauptlage. In der ebenen analytischen Geometrie kann eine Ellipse in erster Hauptlage mit folgender Gleichung dargestellt werden.
Wendet man die Ellipsendefinition im Raum an oder rotiert man eine Ellipse um ihre Hauptachse, entsteht ein Ellipsoid.
Ellipsen lassen sich nur punktweise konstruieren, d.h. eine genaue Konstruktion wie zum Beispiel beim Kreis ist unmöglich. Mit Hilfe der Krümmungskreise (siehe unten) und einem Kurvenlineal lässt sich aber auch zeichnerisch ein relativ genaues Bild der Ellipse erstellen. Um aber zum Beispiel eine Gerade exakt mit einer Ellipse schneiden zu können braucht man besondere Konstruktionstechniken, welche die Eigenschaften der Ellipse ausnützen.
Die Ellipse lässt sich am einfachsten zeichnen, wenn die beiden Brennpunkte und die Länge der Hauptachse angegeben ist. Dann kann man einfach einzelne Punkte mittels der Ellipsendefinition konstruieren und diese "verbinden".
Um die Konstruktion zu vereinfachen, kann man zuerst die Scheitelkrümmungskreise bestimmen. Dies sind Kreise, die die Ellipse in der Nähe der Scheitel gut annähern, da sie die selbe Krümmung besitzen wie die Ellipse in den Scheiteln.
Eine Möglichkeit die Ellipse "genau" zu zeichnen ist die so genannte Gärtnerkonstruktion: Um ein ellipsenförmiges Blumenbeet zu erstellen befestigt man eine Schnur mit der Länge 2a an zwei Pflöcken, die in den Brennpunkten stehen. Nun spannt man die Schnur und fährt mit einem Markierungsgerät an ihr entlang. Diese Konstruktion ist natürlich in der klassischen Geometrie nicht erlaubt.
Mittels der Ellipsenkonstruktion nach De La Hire (auch Konstruktion nach Proklus) können Ellipsenpunkte konstruiert werden, ohne dass die Brennpunkte angegeben sein müssen. Sind zwei konjugierte Durchmesser angegeben, kann man mit Hilfe der Rytz'schen Achsenkonstruktion die Haupt- und Nebenscheitel (und -achsen) bestimmen.
Für eine Ellipse in Mittelpunktslage, große Halbachse längs der x-Achse gilt:
Konstruktion
Formelsammlung
Parameterform:
Polarform:
Brennpunkte:
Flächeninhalt:
Umfang: