Zahlentheoretische Funktion
Dieser Artikel enthält mathematische Symbole. Diese werden in der Tabelle mit mathematischen Symbolen erläutert.Ganz allgemein ist eine zahlentheoretische Funktion eine Funktion von N nach C. In der Regel interessiert man sich aber nur für solche Funktionen, die eine gewisse Bedeutung für die Zahlentheorie haben.
Die zahlentheoretischen Funktionen bilden mit der komponentenweisen Addition und skalaren Multiplikation einen Vektorraum über C. Bezüglich der komponentenweisen Addition und der Faltung (siehe unten) bilden die zahlentheoretischen Funktionen einen Integritätsring.
Table of contents |
2 Multiplikative Funktionen 3 Additive Funktionen 4 Faltung |
Eine Funktion heißt multiplikativ, wenn gilt: f(ab)=f(a)·f(b) für a,b teilerfremd. Sie heißt streng multiplikativ, wenn man die zusätzliche Bedingung der Teilerfremdheit weglassen kann.
Beispiele für multiplikative Funktionen sind die Teileranzahlfunktion, die Teilersummenfunktion und die eulersche φ-Funktion. Streng multiplikativ ist beispielsweise die Identität.
Für multiplikative Funktionen hat man die folgende charakterisierende Eigenschaft:
Eine Funktion heißt additiv, wenn gilt: f(ab)=f(a)+f(b'\') für a,b'' teilerfremd. Sie heißt streng additiv, wenn man die zusätzliche Bedingung der Teilerfremdheit weglassen kann.
Ein Beispiel für eine additive Funktion ist die p-adische Exponentenbewertung. Aus jeder multiplikativen Funktion lässt sich eine additive Funktion konstruieren, indem man das Ergebnis logarithmiert. Präziser: Wenn f (streng) multiplikativ ist, so ist eine (streng) additive Funktion.
Die Faltung zweier Funktionen ist definiert als
In diesem Zusammenhang ist die (multiplikative) Möbiussche μ-Funktion interessant:
Siehe auch den allgemeineren Artikel Faltung (Mathematik).
Beispiele
Multiplikative Funktionen
Additive Funktionen
Faltung
Die Funktion F:=f*1 bezeichnet man als die summatorische Funktion von f. Dabei bezeichnet 1 die Funktion, die konstant 1 ist.
Mit Hilfe der Möbiusschen μ-Funktion kann man aus der summatorischen Funktion F die ursprüngliche Funktion f zurückgewinnen, indem man F*μ berechnet.