Primfaktorzerlegung
In der Mathematik versteht man unter der Primfaktorzerlegung, auch als Zerlegung in Primfaktoren bezeichnet, die Darstellung einer positiven natürliche Zahl als Produkt von Primzahlpotenzen. Jede "Nichtprimzahl" np (np > 1) wird als zusammengesetzte Zahl bezeichnet.
Die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl ist dabei die Darstellung dieser Zahl als Produkt von Primzahlen. Beispiel:
Dass die Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig ist, ist Aussage des Fundamentalsatzes der Arithmetik.
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Meist fasst man gleiche Primfaktoren als Potenz zusammen. Den Exponenten eines Primfaktors p von n schreibt man als vp(n), man nennt ihn auch die p-adische Exponentenbewertung von n. Er spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der p-adischen Zahlen. Man setzt noch vp(n) = 0, falls p kein Primfaktor von n ist. Damit erhält man die folgende kanonische Darstellung:
Lässt man auch negative Exponenten zu, dann ist sogar jede positive rationale Zahl eindeutig als Produkt von Primzahl-Potenzen darstellbar. Die kanonische Darstellung von 1200/6936 lautet dann
Die Primfaktorzerlegung der 1 besteht aus dem leeren Produkt (welches hier per Definition den Wert 1 hat) und die einer Primzahl p besteht aus dem einzigen Faktor p. Eine natürliche Zahl, die nicht selbst Primzahl ist, nennt man zusammengesetzt; ihre Primfaktorzerlegung besteht aus mehr als einem Faktor (möglicherweise auch mehrmals demselben).
In einem kommutativen unitären Ring kann man den Begriff des Primelements definieren und fragen, ob jedes Element eine Primfaktorzerlegung hat, und ob diese eindeutig ist. Dabei stellt man fest, dass dies nicht immer so sein muss, z.B. hat die Zahl 4 im Ring Z[√-3] keine Primfaktorzerlegung.
Falls jedoch eine Primfaktorzerlegung existiert, dann ist diese (bis auf Reihenfolge und Einheiten) eindeutig.
In einem faktoriellen Ring existiert stets eine Primfaktorzerlegung.
Siehe auch: FaktorisierungsverfahrenKanonische Darstellung
wobei das Produkt über die Menge P aller Primzahlen erstreckt wird. Dieses unendliche Produkt hat nur endlich viele von 1 verschiedene Faktoren, ist also eigentlich endlich. Oft beschränkt man sich daher bei der Angabe dieses Produkts auf die Primteiler von n:
Zum Beispiel sind
die kanonischen Darstellungen von 1200 und 6936.Eigenschaften
Verallgemeinerung