Relation (Mathematik)
Dieser Artikel enthält mathematische Symbole. Diese werden in der Tabelle mit mathematischen Symbolen erläutert.Eine Relation ist eine Beziehung zwischen Dingen. Eine Relation im Sinne der Mathematik ist eine Beziehung, die zwischen gewissen Dingen gegeben, zwischen anderen Dingen nicht gegeben sein kann - es gibt also keine Zwischenabstufungen; Dinge können nicht "ein bisschen" zueinander in Relation stehen.
Diese Festlegung ermöglicht eine einfache mengentheoretische Definition des Begriffs Relation: eine Relation R ist eine Menge von Tupeln. Dinge, die in der Relation R zueinander stehen, bilden ein Tupel, das Element von R ist.
Wenn nicht ausdrücklich anderes angegeben ist, versteht man unter einer Relation eine "zweistellige" oder "binäre" Relation, also eine Beziehung zwischen je zwei Dingen. Die Tupel sind in diesem Fall Paare. Die Elemente eines Tupels (a, b) können aus verschiedenen Grundmengen A und B stammen; die Relation heißt dann "Relation zwischen den Mengen A und B". Wenn die Grundmengen übereinstimmen, A=B, heißt die Relation auch "Relation in der Menge A". Wichtige Spezialfälle, zum Beispiel Äquivalenzrelationen und Ordnungsrelationen sind Relation in einer Menge.
Table of contents |
2 Erläuterungen 3 Beispiel 4 Eigenschaften 5 Klassen von Relationen 6 Siehe auch |
Die vorstehenden Überlegungen erlauben uns nun folgende formale Definition: eine binären Relation R ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts zweier Mengen A und B:
Das kartesische Produkt ist die Menge aller geordneten Paare von a und b, wobei a irgendein Element aus der Menge A und b eines aus B darstellt.
Bei dem geordneten Paar ist die Reihenfolge wichtig, d.h. (a,b) ist etwas anderes als (b,a). Im Gegensatz zu der ungeordneten Menge {a,b}, die identisch ist mit {b,a}.
Für "(a, b) " schreibt man meist "a R b". Sehr oft ist dabei die Menge A = B, also .
Relationen können als Funktionenen gesehen werden, deren Definitionsmenge das kartesische Produkt der Mengen ist und deren Wertemenge lediglich wahr und falsch umfasst. Man könnte also auch R(a,b) für den Ausdruck der Relation schreiben. Umgekehrt kann man aber auch eine Funktion als eine spezielle (nämlich als eine linkstotale und rechtseindeutige) Relation auffassen (siehe unten). Ob man Funktionen als spezielle Relationen oder Relationen als spezielle Funktionen erklärt, bleibt willkürlich.
Die in der folgenden Tabelle gegebenen Beispiele beziehen sich bei Verwendung von Gleichheitszeichen "=", Kleinerzeichen "<" und Kleinergleich-Zeichen "≤" auf die gewöhnliche Anordnung reeller Zahlen.
Wichtige Eigenschaften von binären Relationen sind:
Definition
Allgemeiner ist eine n-stellige Relation eine Teilmenge des kartesischen Produkts von n Mengen A1, ..., An.Erläuterungen
Beispiel
Eigenschaften
Die Relation heißt | wenn gilt | und das bedeutet |
---|---|---|
reflexiv (A = B)
|
| Jedes Element steht in Relation zu sich selbst, z.B. ist stets a≤a |
irreflexiv (A = B)
|
| Kein Element steht in Relation zu sich selbst, z.B. gilt a<a für kein a |
symmetrisch (A = B)
|
| Die Relation ist ungerichtet, z.B. folgt aus a=b stets b=a |
asymmetrisch (A = B)
|
| Es gibt keine zwei Elemente, die in beiden Richtungen in Relation stehen, z.B. folgt aus a<b stets, dass b<a nicht gilt |
antisymmetrisch bzw. identitiv (A = B)
|
| Es gibt keine zwei verschiedenen Elemente, die in beiden Richtungen in Relation stehen, z.B. folgt aus a≤b und b≤a stets a=b |
transitiv (A = B)
|
| Anfang und Ende einer verbundenen Sequenz sind verbunden, z.B. folgt aus a<b und b<c stets a<c |
intransitiv
| nicht transitiv
| nicht bei jeder verbundenen Sequenz sind Anfang und Ende verbunden |
antitransitiv
|
| bei keiner verbundenen Sequenz sind Anfang und Ende verbunden |
drittengleich (rechtskomparativ)
|
| Stehen zwei Elemente jeweils zu einem dritten in Relation, dann stehen sie auch zueinander in Relation, z.B. folgt aus a=c und b=c auch a=b. Zu beachten ist, dass diese Forderung nicht äquivalent zur Transitivität ist. |
drittengleich (linkskomparativ)
|
| Siehe oben. |
Funktion
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| Jedem a wird genau ein b zugeordnet. A heißt Definitionsmenge und B Wertemenge |
total bzw. linear (A = B)
|
| Je zwei Elemente stehen in Relation, z.B. gilt stets a≤b oder b≤a |
trichotomisch
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| Je zwei Elemente sind entweder gleich, oder stehen in genau einer Art und Weise zueinander in Relation. |
linkstotal
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| Jedes El. aus A hat einen Partner in B |
rechtstotal
|
| Jedes El. aus B hat einen Partner in A |
linkseindeutig
|
| Kein El. aus B hat mehr als einen Partner in A |
rechtseindeutig
|
| Kein El. aus A hat mehr als einen Partner in B |
alternativ (A = B)
|
| Es gilt stets genau eine der Relationen a R b oder b R a |
Relationen werden oft auch mit N:1 oder N:N und dergleichen charakterisiert. Dabei steht 1, wenn es rechts steht, für linkstotal und rechtseindeutig (und umgekehrt). N steht meistens für gar nichts. Manchmal wird auch 0 statt 1 verwendet, um die Totalität wegzulassen.
Wichtige Klassen von Relationen:
Operationen auf ganzen Relationen werden in der relationalen Algebra behandelt.
Symmetrie_(wiskunde)Klassen von Relationen
Siehe auch
In der Informatik sind Relationen für relationale Datenbanken wichtig.