Reflexivität
- Reflexivität ist in der Mathematik eine Eigenschaft von Relationen.
Eine zweistellige Relation heißt irreflexiv, wenn kein Element in Relation zu sich selbst steht.
Beispiele reflexiver Relationen sind:
- Die Kleinergleich-Relation auf den ganzen Zahlen: Für jede ganze Zahl z gilt z ≤ z.
- Die "unechte" Mengeninklusion .
Graphendarstellung |
Matrixdarstellung |
Beispiele irreflexiver Relationen sind:
- Die Kleiner-Relation auf den ganzen Zahlen: Es gibt keine ganze Zahl z, für die z < z gilt.
- Die strikte Mengeninklusion .
- Die Relation "A hat schonmal B geküsst" auf der Menge aller Menschen; es gibt Menschen, die haben sich schon mal selbst geküsst und solche, die das noch nie getan haben.
- Auf der Menge {0, 1} die Relation {(0,0), (0,1)}, d.h. 0 steht in Relation mit 0 und 1, 1 steht zu keinem Element in Relation.
- Sei f eine Funktion einer Menge A nach A, dann ist die Menge {(x,f(x)} (ihr Graph) eine zweistellige Relation auf A, die genau dann reflexiv ist, wenn f die identische Abbildung auf A ist, und genau dann irreflexiv ist, wenn f keinen Fixpunkt hat (also es kein x gibt mit f(x) = x). Ist also f z.B. die Funktion f(x) = x² von R nach R, dann ist die Relation f weder reflexiv (denn 2 ≠ f(2)) noch irreflexiv (denn 1 = f(1)).
Wichtige Klassen von Relationen, die reflexiv sind, sind Halbordnungen und Äquivalenzrelationen. Eine Ordnungsrelation heißt genau dann strikt, wenn sie irreflexiv ist.
- Reflexivität ist in der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Analysis, eine Eigenschaft von Banachräumen.
Durch die Abbildungsvorschrift
und ist, so nennt man einen reflexiven Banachraum.
Eigenschaften
- Jeder Hilbertraum ist reflexiv.
- Abgeschlossene Unterräume reflexiver Räume sind reflexiv.
- Ein Banachraum ist genau dann reflexiv, wenn sein Dualraum es ist.