Lebesgue-Maß
"Maß" im mathematischen Sinne ist eine Verallgemeinerung des Begriffes der Länge eines Intervalles.Die Mengenlehre setzt Strecken und Punktmengen gleich. Die analytische einwandfreie Fassung des Punktmengenbegriffes führt dazu, die Länge von (Punkt-)Mengen zu bestimmen, oder, wie es die Mathematiker zu sagen pflegen, deren Maß zu bestimmen.
Damit ist eine Brücke zwischen der elementargeometrischen Auffassung einer Strecke und dem mengentheoretischen Standpunkte gegeben.
Es ist historisch interessant, daß Ansätze zu dieser Betrachtungsweise bereits bei Euklid zu finden sind.
Cavalieri erweiterte das Konzept Euklids, indem er davon ausging, daß jede höhere Dimension im Prinzip aus unendlich vielen Elementen bestehe, welche der Dimension nach um einen Grad kleiner sein müssen.
Nachdem die Integration von Funktionen mit dem Begriff der Länge unmittelbar verknüpft ist, führt der Maßbegriff, auf die Integration angewandt, in vielen Bereichen der Mathematik, wie Funktionentheorie, Topologie, Funktionalanalysis etc. zu einer neuen Betrachtungsweise.
Wenn eine Funktion über einem Lebesgue-messbaren Bereich definiert wird, dann existiert auch das Lebesgue-Maß der Funktion.
Jede differenzierbare Funktion ist Lebesgue-messbar.
Das gilt nun aber auch für eine Klasse von Funktionen, welche in einem endlichen Intervall (abzählbar) unendlich viele Unstetigkeitsstellen besitzt. Eine solche Funktion ist die Dirichlet-Funktion.
Solche Funktionen sind zwar nicht integrierbar durch das Riemann-Integral, aber im Sinne des Lebesgue-Integrales.
siehe auch: Maßtheorie