Funktionentheorie
Die Funktionentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie befasst sich unter anderem mit differenzierbaren komplexwertigen Funktionen komplexer Variablen, und ist damit eine Verallgemeinerung der reellen Analysis.
Hier sind u(x,y) und v(x,y) reelle Funktionen, die von zwei rellen Variablen
x,y abhängen. u(x,y) heißt der Realteil und v(x,y) der Imaginärteil der
Funktion. Insofern unterscheidet sich eine komplexe Funktion nicht von einer
reelen Abbildung von nach (also einer Abbildung, die zwei reelen Zahlen wieder zwei reele Zahlen zuordnet.). Tatsächlich könnte man die ganze Funktionentheorie auch mit reeller Analysis behandeln.
Der Unterschied zur reellen Analysis wird erst deutlicher, wenn man
komplex differenzierbare Funktionen betrachtet.
(Für eine exakte Definition muss f dabei in einer Umgebung von a
definiert sein und der Grenzwert muss für alle hinreichend kleinen
w existieren und gleich sein). Für den Grenzwert muss dabei der komplexe
Abstandsbegriff verwendet werden:
Damit sind für komplexwertige Funktionen einer komplexen Variablen zwei verschiedene Differenzierbarkeitsbegriffe definiert: die komplexe Differenzierbarkeit und die Differenzierbarkeit der zweidimensionalen reellen Analysis (reelle Differenzierbarkeit). Komplex differenzierbare Funktionen sind auch reell differenzierbar, die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.
Für holomorphe Funktionen gilt, dass Real- und Imaginärteil
harmonische Funktionen sind, also die Laplace-Gleichung erfüllen. Dies verknüpft die Funktionentheorie mit den
partiellen Differentialgleichungen, beide Gebiete haben sich regelmäßig gegenseitig beeinflusst.
Das Wegintegral einer holomorphen Funktione ist vom Weg unahängig.
Dies war historisch das erste Beispiel einer Homotopieinvarianz.
Aus diesem Aspekt der Funktionentheorie entstanden viele Ideen der
algebraischen Topologie.
Außerdem kann man die Wegunabhängigkeit verwenden, um relle Integrale
zu berechnen, indem man die Integration in der komplexen Ebene durchführt.
(siehe Residuensatz).
Weitere wichtige Forschungsschwerpunkte sind die analytische Fortsetzbarkeit von holomorphen und meromorphen Funktionen auf die Grenzen ihres Definitionsbereiches und darüber hinaus.
Komplexe Funktionen
Eine komplexe Funktion ordnet einer komplexen Zahl eine weitere komplexe Zahl zu. Da jede komplexe Zahl durch zwei reele Zahlen in der Form x + iy geschrieben werden kann, sieht eine allgemeine Form einer komplexen Funktion so ausKomplexe Differenzierbarkeit
Der Differenzierbarkeitsbegriff der eindimensionalen reellen Analysis wird in der Funktionentheorie zur komplexen Differenzierbarkeit erweitert. Analog zum reellen Fall definiert man: Eine Funktion ist komplex differenzierbar, falls der folgende Grenzwert existiert:Holomorphe Funktionen
Funktionen, die in einer Umgebung eines Punktes komplex differenzierbar sind,
nennt man holomorphe Funktionen. Diese haben eine Reihe hervorragender Eigenschaften, die es rechtfertigen, dass sich eine eigene Theorie hauptsächlich damit beschäftigt - eben die Funktionentheorie.
Zum Beispiel ist eine Funktion, die einmal komplex differenzierbar
ist, automatisch beliebig oft komplex differenzierbar! (Im Gegensatz zum reellen Fall).Äquivalente Definitionen Holomorpher Funktionen
In einer Umgebung einer komplexen Zahl
sind folgende Eigenschaften komplexer Funktionen gleichwertig:
Holomorphe Funktionen sind somit die angenehmsten Funktionen, die es
in der Mathematik gibt: Sie sind beliebig oft differenzierbar, können in
eine Potenzreihe (Taylor-Reihe) entwickelt werden und vieles mehr.
Fast alle Funktionen, die aus der Schulmathematik bekannt sind, sind
Real- oder Imaginärteil einer komplexen Funktion (zumindest auf einem
Teil der komplexen Ebene): Insbesondere gilt das
für Polynome, rationale Funktionen, trigonometrische Funktionen
(Sinus, Cosinus), Exponentialfunktion, Logarithmus, und Wurzelfunktionen.Meromorphe Funktionen
Meromorphe Funktionen sind holomorph (analytisch) bis auf Polstellen. Sie lassen sich in Laurentreihen entwickeln, die aber nur endlich viele Reihenglieder besitzen, bei denen Potenzen mit negativen Exponenten vorkommen.Funktionen mit wesentliche Singularitäten
Neben holomorphen und meromorphen Funktionen gibt es in der Funktionentheorie Funktionen mit wesentlichen Singularitäten. Sie sind dadurch charakterisiert, dass eine Funktion in der Umgebung einer wesentlichen Singularität jeden beliebigen komplexen Zahlenwert annehmen kann (Satz von Picard). Funktionen mit wesentlichen Singularitäten haben eine nicht abbrechende Laurententwicklung für Potenzen mit negativen Exponenten.Funktionentheoretische Methoden in anderen mathematischen Teilgebieten
Reelle Funktionen, die sich in eine Potenzreihe entwickeln lassen, sind
auch Realteil einer holomorphen Funktion. Damit lassen sich diese
Funktionen auf die komplexe Ebene erweitern. Durch diese Erweiterung kann
man oft Zusammenhänge und Eigenschaften von Funktionen finden, die
im Reellen verborgen bleiben, zum Beispiel die Eulersche Identität.
Hierüber erschließen sich vielfältige Anwendungsbereiche in der Physik (beispielsweise in der Quantenmechanik die Darstellung von Wellenfunktionen, sowie in der Elektrotechnik zweidimensionale Strom-Spannungs-Diagramme).
Diese Identität ist auch die Basis für die komplexe Form der Fouriertransformation. In vielen Fällen lässt sich diese einfach durch komplexe Analysis berechnen. Weitere wichtige Themen und Ergebnisse
Wichtige Ergebnisse sind der cauchysche Integralsatz, der Residuensatz und der riemannsche Abbildungssatz. Ein weiteres wichtiges Ergebnis ist der Fundamentalsatz der Algebra. Er besagt, dass sich ein Polynom im Bereich der komplexen Zahlen vollständig in Linearfaktoren zerlegen lässt. Für Polynome im Bereich der reellen Zahlen ist dies im Allgemeinen nicht möglich.Funktionentheorie mehrere Variablen
Man kann auch Funktionen betrachten, die von mehreren komplexen
Variablen abhängen. Es hat sich jedoch gezeigt, dass sich
in diesem Fall eine viel kompliziertere Theorie ergibt als im
Fall nur einer Variablen. Insbesondere gelten die meisten
Ergebnisse der normalen Funktionentheorie nur mehr mit
Einschränkungen (beispielsweise an das Gebiet). Die Funktionentheorie mehrerer
Variablen ist eher theoretisch interessant und spielt in der Praxis
kaum eine Rolle.Wikipedia-Artikel zur Funktionentheorie:
Grundlagen:
Fundamentale Sätze:
Komplexe Funktionen:
Ganze Funktionen:
Meromorphe Funktionen: