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Galilei-Transformation



Die Galileitransformation überführt in der klassischen Mechanik ein Bezugssystem in ein anderes.

Table of contents
1 Einfachste Form
2 Inertialsysteme
3 Allgemeinere Formen
4 Erhaltungssätze
5 Gültigkeit der Galileitransformation

Einfachste Form

Seien die Orts- und Zeitkoordinaten im ersten System, die Koordinaten im zweiten System, das sich mit der konstanten Geschwindigkeit gegenüber dem ersten System in Richtung der x-Achse bewegt. Wenn man zusätzlich annimmt, dass zum Zeitpunkt 0 die Nullpunkte der Systeme übereinstimmen, erhält man als einfachste Form der Galileitransformation die vier Formeln:

Inertialsysteme

Ist das Ausgangssystem ein Inertialsystem (IS), so ist auch das transformierte System ein IS. Betrachtet man nur Inertialsysteme, so bleiben die Gesetze der klassischen Mechanik in ihrer Form unverändert: die Stoßgesetze behalten ihre Gültigkeit, ein schiefer Wurf bleibt ein schiefer Wurf usw. Lediglich bei beschleunigten Systemen treten Änderungen auf. Dort beobachtet man Scheinkräfte wie z. B. die Corioliskraft.

Anschaulich bedeutet dies, dass man auch in einem (gleichmäßig) fahrenden Zug - oder in einem Flugzeug - ohne weiteres Tischtennis spielen kann, ohne dass man umlernen muss (wenn man von den unvermeidlichen Erschütterungen absieht). Lediglich wenn der Zug durch eine Kurve fährt oder im Bahnhof abbremst, ändern sich die Flugbahnen.

Allgemeinere Formen

Die Galileitransformation gilt auch

Vektorielle Schreibweise

Die Formeln kann man auch vektoriell schreiben. Dies ist zunächst nur eine Abkürzung, erweist sich jedoch für kompliziertere Rechnungen als nützlich.

Setzt man

so kann man die vier (!) Gleichungen auch so schreiben:

Die erste Gleichung enthält dabei drei Gleichungen in vektorieller Schreibweise.

Gleichförmige Geschwindigkeiten in beliebiger Richtung

Die vektorielle Form gilt sofort auch für die Verallgemeinerung auf Geschwindigkeiten, die nicht parallel zur x-Achse erfolgen, wenn man setzt:

Die Geschwindigkeit und ihre Komponenten müssen zeitlich konstant sein.

Die Nullpunkte der Bezugssysteme fallen nicht zusammen

Die Konstante

wird eingeführt. Bei t=0 ist dies der Abstand der Nullpunkte der Bezugssysteme. Die Galileitransformation wird dann zu

.

Anschaulich bedeutet dies, dass ich dem Tischtennisspiel im Zug auch von der Ferne aus zuschauen kann.

Unterschiedliche Zeitpunkte

Die Zeit braucht nicht gleich zu sein, sondern kann um unterschiedlich sein.

.

Die Gesetze der Mechanik ändern sich nicht mit der Zeit.

Gedrehte Bezugssysteme

Die Koordinatenachsen der Bezugssysteme müssen nicht in dieselbe Richtung zeigen. Mathematisch müssen dann die Koordinaten umgerechnet werden, was ohne vektorielle Schreibweise zu recht langen Formeln führt.

Vektoriell kann man einfach eine Drehmatrix mit neun Zahlen verwenden. Da die Längen nicht geändert werden, müssen bestimmte Bedingungen an diese Matrix gestellt werden, so dass nur drei Parameter (z. B. Winkel) unabhängig sind. Die Schreibweise mit neun Zahlen ist aber trotzdem die einfachste:

Eine gültige Drehmatrix ist z. B. (45° Winkel um die z-Achse)

Die Galileitransformation in ihrer allgemeinsten Form wird dann zu

.

Die allgemeine Form hat 10 Parameter (drei Drehwinkel, drei Abstandskoordinaten, drei Geschwindigkeitskomponenten und die Zeitverschiebung).

Anschaulich bedeutet dies, dass ich das Tischtennisspiel im Zug durch ein Fenster aus einem schräg fliegenden Flugzeug auf Film aufnehmen kann und dann z. B. eine Woche später mir anschauen kann. Die Gesetze der Physik haben sich in dieser Zeit nicht geändert.

Erhaltungssätze

In der Physik bezeichnet man die Forminvarianz von Gleichungen bei Transformationen als Symmetrie. Nach einem Satz von Emmy Noether ist jede solche Symmetrie mit einem Erhaltungssatz verknüpft. Aus der Galileitransformation folgen die Erhaltungssätze der klassischen Mechanik, und zwar

Gültigkeit der Galileitransformation

Griechische Vorstellungen und Mittelalter

In der Physik des Aristoteles existiert eine absolute Ruhe, alle Körper streben den Zustand der Ruhe an. Die Scholastiker des Mittelalters übernahmen diese Vorstellung.

Klassische Mechanik

Die Unabhängigkeit der Gesetze der Mechanik vom Bewegungszustand - gleichförmige Bewegung vorausgesetzt - wird erst in der klassischen Physik erkannt. Die Kräfte bei Isaac Newton sind nur von den Beschleunigungen abhängig, die sich bei Galileitransformation nicht ändern. Newton glaubte an eine absolute Zeit und einen absoluten Raum. In der klassischen Mechanik behält das Prinzip uneingeschränkte Gültigkeit, man hielt es lange Zeit für a priori gegeben und unangreifbar.

Klassische Elektrodynamik

In der Elektrodynamik Maxwells gilt das Prinzip jedoch nicht, die Maxwellschen Gleichungen gelten nur im Laborsystem, jedoch nicht in unveränderter Form im bewegten System. Sie enthalten die Lichtgeschwindigkeit c als Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen, die sich bei Messungen, im Widerspruch zur Galileitransformation, als unter allen Umständen konstant erwies. Zur Rettung der Transformation wurde ein hypothetischer Äther als Träger der elektromagnetischen Wellen, zu denen auch Licht gehört, angenommen.

Relativitätstheorie

Einstein erkannte, dass man die für die Gleichungen der Elektrodynamik gültige Lorentz-Transformation auch auf die Mechanik übertragen kann, indem man die dort gültige Galileitransformation ersetzt. Dies führte zur speziellen Relativitätstheorie, erfordert aber eine Modifikation der Vorstellungen von Zeit und Raum. Die Beschränkung auf unbeschleunigte Systeme (Inertialsysteme) wird in der allgemeinen Relativitätstheorie aufgehoben.

Galileitransformation und Lorentztransformation

Die Galileitransformation ist der Grenzfall der Lorentztransformation für die Geschwindigkeit Null. Für kleine Geschwindigkeiten (verglichen mit der Lichtgeschwindigkeit von ca. 300.000 km/s) gehen die Transformationen ineinander über.

Praktische Anwendung

In der Praxis wird fast immer die Galileitransformation angewendet, da die Korrektur in der Lorentztransformation bei irdischen Geschwindigkeiten sehr klein ist. Der Korrekturfaktor liegt in der Regel unterhalb der Messbarkeitsgrenze (unter 10-8 für die schon sehr große Umlaufgeschwindigkeit der Erde um die Sonne, etwa 30 km/s).

Allgemeine Betrachtungen

Unabhängig von weiterführenden Theorien kann die Gültigkeit der Galileitransformation hinterfragt werden. Es ist nicht ohne weiteres klar, dass




     
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