Normale Zahl
Als normale Zahl wird in der Mathematik eine reelle Zahl bezeichnet, deren Vor- und Nachkommaziffern eine Zufallsverteilung besitzen, bei der alle Ziffern gleich wahrscheinlich sind.Die genauere Definition einer normalen Zahl ist formaler: Sei etwa b eine ganze Zahl, die größer als Null ist, und x eine beliebige reelle Zahl. Nun werde die Zahl x zur Basis b dargestellt (vgl. Zahlensystem). Für eine beliebige Ziffernfolge s aus Ziffern der Basis b bezeichne N(s,n), wie oft die Ziffernfolge s in den ersten n Ziffern von x auftaucht. Die Zahl x ist normal in der Basis b, wenn
Der Begriff wurde 1909 von Émile Borel eingeführt. Mit Hilfe des Lemmas von Borel-Cantelli bewies er das "Theorem der normalen Zahlen":
- Fast alle reellen Zahlen sind Normal. (Im Sinne, dass die Menge aller nicht-normalen Zahlen das Lebesgue Maß Null besitzt.)
Champernownes Zahl
- 0.1234567891011121314151617...,
- 0.235711131719232931373941...,
Eine rationale Zahl kann zu keiner Basis normal sein, da ihre Ziffernfolge immer endet oder periodisch wird. Waclaw Sierpinski konstruierte 1917 die erste bekannte normale Zahl. Verónica Becher and Santiago Figueira gaben eine Vorschrift zur Konstruktion einer berechenbaren normalen Zahl an. Gregory Chaitins Zahl Ω ist ein Beispiel einer nicht-berechenbaren normalen Zahl.
Es ist sehr schwer, die Normalität einer Zahl zu beweisen, die nicht speziell zu diesem Zweck konstruiert wurde. Es ist beispielsweise nicht bekannt, ob die Quadratwurzel von 2, die Kreiszahl π, die Eulersche Konstante oder der natürliche Logarithmus der Zahl 2 normal sind oder nicht.
Es wurde von den Mathematikern David H. Bailey und Richard E. Crandall im Jahre 2001 die Vermutung aufgestellt, dass jede irrationale algebraische Zahl normal sei. Bislang ist der Beweis für keine derartige Zahl gelungen; es gibt auch kein Gegenbeispiel.
Literaturangaben