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Newton-Cotes-Formeln



Die Newton-Cotes-Formeln sind eine Klasse von Verfahren der Numerischen Integration. Sie sind benannt nach dem englischen Physiker und Mathematiker Isaac Newton (1643-1727) und dem englischen Mathematiker Roger Cotes (1682-1716).

Um eine beliebige Funktion im Intervall numerisch zu integrieren, kann man durch ein Interpolationspolynom annähern. Dieses Polynom lässt sich dann einfach integrieren. Man wähle dazu die x+1 Punkte mit:

und bestimmt für die Daten:

Damit wird das gesuchte Integral zu:

Wählt man zu Darstellung von die Lagrange-Polynome, so erhält man:

mit für

Die Summe lässt sich wegen der Linearität des Integrals vorziehen:

Die Integrale über die Lagrangepolynome sind von der zu integrierenden Funktion unabhängig, und werden zu den sogenannten Gewichten . Die Gewichte sind aber sehr wohl von der Wahl der Punkte abhängig. Wählt man die äquidistant, also mit gleichem Abstand, erhält man die Newton-Cotes-Formeln. Sind der erste und der letzte Knoten Anfang und Ende des Intervalls, also:

so nennt man die Newton-Cotes-Formel abgeschlossen, andernfalls offen.

Spezialfälle der abgeschlossenen Formeln für kleine n:




     
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