Newton-Cotes-Formeln
Die Newton-Cotes-Formeln sind eine Klasse von Verfahren der Numerischen Integration. Sie sind benannt nach dem englischen Physiker und Mathematiker Isaac Newton (1643-1727) und dem englischen Mathematiker Roger Cotes (1682-1716).Um eine beliebige Funktion im Intervall numerisch zu integrieren, kann man durch ein Interpolationspolynom annähern. Dieses Polynom lässt sich dann einfach integrieren. Man wähle dazu die x+1 Punkte mit:
und bestimmt für die Daten:
Damit wird das gesuchte Integral zu:
Wählt man zu Darstellung von die Lagrange-Polynome, so erhält man:
mit für
Die Summe lässt sich wegen der Linearität des Integrals vorziehen:
Die Integrale über die Lagrangepolynome sind von der zu integrierenden Funktion unabhängig, und werden zu den sogenannten Gewichten . Die Gewichte sind aber sehr wohl von der Wahl der Punkte abhängig. Wählt man die äquidistant, also mit gleichem Abstand, erhält man die Newton-Cotes-Formeln. Sind der erste und der letzte Knoten Anfang und Ende des Intervalls, also:
so nennt man die Newton-Cotes-Formel abgeschlossen, andernfalls offen.
Spezialfälle der abgeschlossenen Formeln für kleine n:
- n=0: Rechteck- oder Mittelpunktsregel
- n=1: Trapezregel
- n=2: Simpson-Regel/Keplersche Fassregel
- n=3: 3/8 - Regel oder auch Pulcherima