Numerische Quadratur
Bei der numerischen Quadratur versucht man, den Wert eines Riemann-Integrals näherungsweise zu bestimmen.Das Riemann-Intergral
Oft kann man das Integral nicht geschlossen lösen, d.h. man kann keine Stammfunktion zu f(x) angeben. Deshalb versucht man, Näherungswerte zu ermitteln.
Dazu unterteilt man die gesuchte Fläche in senkrechte Streifen und nähert jede dieser so erhaltenen Teilflächen durch einfache geometrische Figuren (z.B. Trapez) oder einfache Funktionen (z.B. Polynome) an.
Für die Flächenberechnung dieser einfachen Figuren benötigt man den Wert der Funktion f(x) an den so genannten Stützstellen x0, ... xm. Die Summe über diese Teilflächen ergibt eine Näherung des Integrals. Je schmaler man die einzelnen Teilflächen wählt umso genauer wird die Näherung. Von Interesse ist dann noch die Frage, wie gross der Fehler ist, der sich durch die Näherung ergibt. Dieser Fehler wird durch das Restglied beschrieben.
Table of contents |
2 Summierte Quadraturformeln 3 Spezielle Quadraturformeln |
Mit Hilfe von Interpolationspolynomen und deren Lagrange-Darstellung kann man die folgende allgemeine Quadraturformel und das zugehörige Restglied herleiten.
Allgemeine Quadraturformel für eine Teilfläche
Restglied
Wenn noch zusätzlich für alle Stützstellen im Intervall [a,b] gilt (x - xj) >=0 oder alternativ (x - xj) <=0, dann hat der Integrand keinen Vorzeichenwechsel in [a,b] und man kann zeigen:
Ist die Funktion f(x) zusätzlich noch reellwertig in [a,b], dann kann man mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Integralrechnung folgende Darstellung für das Restglied herleiten:
mit einer Zwischenstelle ζ im Intervall [a,b].
Um das Integral noch besser annähern zu können unterteilt man das Intervall [a,b] in nebeneinanderliegende kleinere Teilintervalle. In jedem Teilintervall wendet man die gleiche Näherung für die einzelnen Flächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen.
Unterteilen wir also das Intervall [a,b] in N nebeneinanderliegende Teilntervalle
[a1,b1],[a2,b2], ... [aN,bN] mit a1=a; ak+1=bk k=1,...,N-1; bN = b
Die Teilintervalle müssen zunächst nicht die gleiche Länge haben.
Dann gilt für jede Teilfläche
Summierung über die einzelnen Restglieder ergibt die Abschätzung für das gesamte Restglied
mit Nh = b - a.
Ist die Funktion f(x) zudem auf [a,b] reellwertig, dann kann man für das Restglied analog herleiten:
Mit
Man legt an die Kurve f(x) im Punkt c in der Mitte des Intervalls [a,b] die Tangente und erhält so wieder ein Trapez.
Mit
Interpoliert man die Funktion f(x) mittels eines quadratischen Polynoms in den Punten a,b,c (c liegt in der Mitte von [a,b]), dann erhält man die Simpsonsche Formel.
Mit
Diese ergeben sich mit
z0 = 0
z1 = 1
z2 = 0
z3 = 1
β0 = 1
β1 = 1/2
β2 = -(1/6)
β3 = -(1/12)
β4 = -(1/30)
Allgemeine Quadraturformel
mit den Koeffizienten
Ist die Funktion f(x) im Intervall [a,b] (m+1)-mal stetig differenzierbar ("reellwertig" wird nicht gefordert), dann läßt sich das Restglied nach oben abschätzen durch
Daraus folgt dann die RestgliedabschätzungSummierte Quadraturformeln
Daraus folgt für das gesamte Integral
mit
Sei f(x) nun (m+1) mal stetig differenzierbar im Gesamtintervall [a,b]. Ferner sollen ab jetzt alle Teilintervalle die gleiche Länge h haben, also
Dann gilt für die einzelnen Restglieder (s.oben)Spezielle Quadraturformeln
Man hat nun verschiedene Möglichkeiten, die einzelnen Teilfächen durch spezielle einfachere Flächen anzunähern. Die Anwendung der obigen allgemeinen Quadraturformel auf diese speziellen Flächen liefert einige bekannte und wichtige spezielle Quadraturformeln.Sehnentrapezformel
Man ersetzt die Kurve f(x) durch die Verbindungsgerade zwischen den Punkten (a,f(a)) und (b,f(b)) - also durch die Sehne - und erhält somit ein Trapez. m = 1
x0 = a
x1 = b
erhält man die Koeffizienten βj z0 = 0
z1 = 1
β0 = 1
β1 = 0,5
β2 = -(1/6)
und daraus schließlich die Sehnentrapezformel
Tangententrapezformel
m = 1
x0 = c
x1 = c
erhält man die Koeffizienten βj z0 = 0,5
z1 = 0,5
β0 = 1
β1 = 0
β2 = 1/12
und daraus schließlich die Tangententrapezformel
Simpsonsche Formel oder Keplersche Faßregel
m = 3
x0 = a
x1 = b
x2 = c
x3 = c
erhält man die Koeffizienten βj z0 = 0
z1 = 1
z2 = 0,5
z3 = 0,5
β0 = 1
β1 = 1/2
β2 = -(1/6)
β3 = 0
β4 = -(1/120)
und damit die Simpsonsche Formel
Hermitsche Formel
m = 3
x0 = a
x1 = b
x2 = a
x3 = b
Besselsche Formel