Simpsonsche Formel
Mit der Simpsonschen Formel (auch Simpsonregel) berechnet man Näherungen zu einem Integral der Funktion f(x) im Intervall [a,b], indem man die Kurve f(x) durch eine Parabel annähert. Die Formel wurde erstmals benutzt von Torricelli, ist aber benannt nach dem englischen Mathematiker Thomas Simpson. Sie ist auch bekannt unter dem Namen Keplersche Fassregel.Das Parabel wird durch die Funktionswerte an den Stellen a, b, (a+b)/2 gelegt. Die Fläche nähert man an duch die Fläche unterhalb der Parabel.
Die Simpsonsche Formel lautet:
Damit lässt sich das Intergral darstellen als
Ist f(x) zusätzlich noch reellwertig, dann gilt mit einer Zwischenstelle ζ aus [a,b] für das Restglied:
Um das Integral noch besser annähern zu können unterteilt man das Intervall [a,b] in N nebeneinanderliegende gleich große Teilintervalle der Länge h. In jedem Teilintervall wendet man die Simpsonsche Formel für die einzelnen Teilflächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Damit erhält man die summierte oder zusammengesetzte Simpsonsche Formel:
- mit h = (b-a) / N