Komplexe Wechselstromrechnung
Die Bestimmung des Verhältnisses von Strom zu Spannung in einem elektrischen Stromkreis ist eine der Grundaufgaben der Elektrotechnik.Wird die Spannung U vorgegeben und der Strom I bestimmt, so identifiziert man das Verhältnis U / I als den Widerstand R. Wird der Strom I vorgegeben und die Spannung U bestimmt, so identifiziert man das Verhältnis I / U als den Leitwert G.
Als (passive) Elemente des Stromkreises können ohmsche Widerstände, Induktivitäten oder Kapazitäten auftreten. Für diese Elemente gilt:
Ohmscher Widerstand (R): der Strom ist der Spannung proportional:
- .
- .
Kapazität (C): die Spannungsänderung ist dem Strom proportional:
- .
Ist die vorgegebene Größe nicht konstant, oder ist der Stromkreis nicht rein ohmsch, so ist das Strom/Spannungsverhältnis beliebig kompliziert.
Ein Sonderfall liegt vor, wenn die vorgegebene Größe einen sinusförmigen periodischen Verlauf hat, z.B.
- .
Die mathematische Behandlung der Problemstellung erfolgt vorteilhaft unter Verwendung komplexer Zahlen, da diese die Lösung trigonometrischer Aufgabenstellungen wesentlich erleichtern.
Table of contents |
2 Ohmscher Widerstand 3 Kondensator 4 Spule 5 Beispiel |
Im Zeigerdiagramm wird eine harmonische Schwingung durch einen
um den Nullpunkt rotierenden Zeiger
in der komplexen Ebene dargestellt, dessen Länge die Amplitude
repräsentiert. Sein Realteil (Projektion auf die reelle Achse) ist
die tatsächliche Messgröße, sie nimmt einen sinusförmigen Verlauf,
während der Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω
umläuft.
Stellt man den Strom als Zeiger i und die Spannung als Zeiger u dar,
so sind diese am ohmschen Widerstand stets in Phase. In
komplexen Polarkoordinaten ist
Im Falle eines Kondensators ist i gegenüber u um +90° in der Phase verschoben.
Damit folgt
Bei einer Spule läuft der Strom der Spannung um 90° nach, also
An einer Reihenschaltung eines Widerstands R = 150 Ω und
eines Kondensators C = 10 μF = 0,00001 F liegt eine Wechselspannung mit
ω = 500 s-1.
Dann ist
Der Betrag des Gesamtwiderstandes ergibt sich aus dem
Satz von Pythagoras zu
siehe auch: Schwingkreis, Zeigerdiagramm, Smith-DiagrammZeigerdiagramm
Ohmscher Widerstand
Der Widerstand ist dannKondensator
Der Widerstand ist dann
Da im Komplexen bei der Division die Winkel subtrahiert werden, ist
hierin
j steht in der Wechselstromlehre für die komplexe Einheit (&sqrt;-1),
die in der Mathematik mit i bezeichnet wird, um hier Verwechslungen
mit dem Strom i zu vermeiden.
Der (komplexe) Widerstand eines Kondensators liegt also auf der negativen imaginären Achse. Das Verhältnis der Beträge |u|/|i|
hängt von der Frequenz f und der Kapazität C ab und ist
2πf ist die Kreisfrequenz ω, sie entspricht der Winkelgeschwindigkeit
des rotierenden Zeigers. Folglich istSpule
Entsprechend folgt dann
Wegen
liegt der komplexe Widerstand einer Spule auf der positiven
imaginären Achse:
Für den Betrag gilt
also
Die Wahl der vorgegebenen Größe hängt von Aufgabenstellung ab. Sind
alle Bauelemente in Reihe geschaltet, so wird man den Strom
vorgeben, da man so für jedes Element die angelegte Spannung
bestimmen kann und dann alle Spannungen zusammenfasst.
Sind alle Bauelemente parallel geschaltet, so wird man eine
Spannung anlegen und den Strom durch die Elemente getrennt
berechnen und dann addieren.
Ist die Schaltung eine Mischform, so ist man gezwungen, sie
elementar zu zerlegen und jede Teilschaltung getrennt zu berechnen,
bevor man sie wieder zusammensetzt.Beispiel
Da sich die Widerstandswerte bei einer Reihenschaltung addieren, ist der Gesamtwiderstand
er ist also das Verhältnis der Beträge von Spannung und Stromstärke.
Für die Phasenverschiebung Δφ zwischen Spannung und Strom
in dieser Schaltung folgt
Es ist zu beachten, dass die komplexe Wechselstromrechnung nur für
den eingeschwungenen Zustand anwendbar ist, das heißt, das
Anschalten und Ausschalten der periodischen Erregung wird durch
diese Methoden nicht abgedeckt. Insbesondere kann sie keine Pulse
oder Pulsfolgen behandeln.