Primelement
Der Begriff
Primelement ist in der
abstrakten Algebra eine Verallgemeinerung des Begriffs der
Primzahl auf
kommutative unitäre Ringee.
Eine Nicht-Einheit eines kommutativen unitären Ringes heißt Primelement, falls für alle Elemente gilt: Teilt das Produkt , so gilt: teilt oder teilt .
;Als Formel :Sei ein kommutativer unitärer Ring und die Menge der Einheiten von . Dann heißt ein prim, wenn gilt:
Primelemente sind diejenigen Elemente, die, wenn sie in irgendeinem Produkt vorkommen, auch in mindestens einem Faktor vorkommen.
Eine andere Verallgemeinerung des Primzahl-Begriffs bilden irreduzible Elemente, die nicht als Produkt von zwei Nicht-Einheiten dargestellt werden können. Die Begriffe Primelement und irreduzibles Element sind im allgemeinen verschieden.
Sätze über Primelemente
- Ist c ein Primelement und e eine Einheit, so ist ebenfalls ein Primelement.
- Ist ein Integritätsbereich, so ist jedes Primelement in irreduzibel.
- Ist ein faktorieller Ring, so ist jedes irreduzible Element auch prim, und jedes Element von lässt sich bis auf Einheitsfaktoren (und Reihenfolge) eindeutig als Produkt von Primelementen darstellen.
- Eine Nichteinheit von ist genau dann ein Primelement, wenn das Hauptideal (c) ein Primideal ist.
Beispiele
- Die Primelemente im Ring der ganzen Zahlen sind genau die Primzahlen (2, 3, 5, 7, 11, ...) und ihre Gegenzahlen (-2, -3, -5, -7, -11, ...).
- Einheiten und die 0 sind per Definition keine Primelemente.
- In einem Körper gibt es keine Primelemente.