Teilbarkeit
Teilbarkeit ist eine algebraische Eigenschaft von ganzen Zahlen. Eine ganze Zahl a≠0 teilt eine ganze Zahl b genau dann, wenn es mindestens eine ganze Zahl n gibt, für die gilt: a·n = b. Man sagt dann auch "a ist Teiler von b", "b ist teilbar durch a", "b ist Vielfaches von a" und schreibt formal a | b.Einige Mathematiker erlauben, dass die Zahl a auch 0 sein kann. Das einzige Vielfache der 0 ist dann die 0 selbst.
Ist a ungleich 1 und ungleich b, so nennt man a einen echten Teiler von b. Eine natürliche Zahl ohne echten Teiler nennt man Primzahl. Eine Primzahl die ein Teiler einer Zahl ist, nennt man kurz Primteiler.
Table of contents |
2 Eigenschaften der Teilbarkeit 3 Teilbarkeitsregeln 4 Verallgemeinerung |
Beispiele
Eigenschaften der Teilbarkeit
Die natürlichen Zahlen sind mit der Teilbarkeitsrelation eine partiell geordnete Menge, sogar ein vollständiger distributiver Verband, dessen Verknüpfungen durch kgV und ggT gegeben sind. Das kleinste Element ist die 1 (1 teilt jedes andere), das größte ist die 0 (0 wird von jedem anderen geteilt).
Für die Teilbarkeit ganzer Zahlen gibt es eine Reihe von Teilbarkeitsregeln.
Die folgenden basieren auf der üblichen Darstellung der Zahlen im Zehnersystem:
Teilbarkeitsregeln
Die folgenden Teilbarkeitsregeln beziehen sich auf andere Stellenwertsysteme:
Weitere Teilbarkeitseigenschaften findet man im Artikel Kongruenz (Zahlentheorie).
Den Teilbarkeitsbegriff kann man auf kommutative Ringe erweitern. Ein Ring ist eine algebraische Struktur in der, ähnlich wie in ganzen Zahlen, Addition und Multiplikation definiert sind und eine allgemeine Subtraktion als Umkehr der Addition möglich ist (für eine genaue Definition siehe der Artikel über Ringtheorie). Die Definition von Teilbarkeit in natürlichen und ganzen Zahlen wird hier direkt übernommen:
Ist R ein kommutativer Ring und sind a&ne0, b ∈ R Ringelemente, dann ist a ein Teiler von b, falls ein weiteres Ringelement n ∈ R existiert mit a·n = b.
In Ringen teilt a genau dann b, wenn das von a erzeugte Hauptideal (a) das von (b) erzeugte umfasst, formal: a | b ⇔ (a) ⊇ (b).
Ein einfaches Beispiel aus den ganzen Zahlen: Das von 2 erzeugte Hauptideal (2) ist die Menge aller Vielfachen von 2, (4) dementsprechend die Menge aller Vielfachen von 4. (4) ⊇ (2), also ist 2 ein Teiler von 4.
Meist macht man Teilbarkeitsuntersuchungen in kommutativen Ringen, die eine neutrales Element 1 enhalten und nullteilerfrei sind, diese Ringe heißen Integritätsringe.
In Strukturen, in denen auch eine allgemeine Division als Umkehr der Multiplikation möglich ist (Körper und Schiefkörper), wie beispielswiese in den reellen Zahlen, ist die Theorie der Teilbarkeit trivial: Jede Zahl (bzw. jedes Körper-Element) ist durch jede andere Zahl außer 0 teilbar.
siehe auch: Modulo, Kongruenz, Teilersumme, Teilermenge
Verallgemeinerung