Konvexe Funktion
In der Analysis heißt eine Funktion f von einem Intervall I nach R konvex, wenn für alle x,y aus I gilt:Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass für alle x, y aus I und t zwischen 0 und 1 gilt:
Eigenschaften
Der Graph einer konvexen Funktion ist so gewölbt, dass die Menge der Punkte oberhalb des Graphen eine konvexe Menge ist. Zu beachten ist, dass eine nicht-konvexe Funktion nicht automatisch konkav sein muss, d.h. konvex und konkav sind hier nicht das exakte Gegenteil voneinander. Jede lineare Funktion ist sowohl konkav als auch konvex, und die Sinusfunktion ist keins von beiden (weder die Menge der Punkte oberhalb des Graphen noch die der Punkte unterhalb des Graphen ist eine konvexe Menge).
Eine Funktion f ist genau dann konvex, wenn die Funktion -f konkav ist.
Ist f differenzierbar, dann ist f genau dann konvex, wenn ihre Ableitung wachsend ist, und genau dann streng konvex, wenn streng monoton wachsend ist.
Ist f zweimal differenzierbar, dann ist f genau dann konvex, wenn nichtnegativ ist, und genau dann streng konvex, wenn positiv ist.
Beispiele
Siehe auch: konkave Funktion