Lineare Funktion
Im
mathematischen Sprachgebrauch werden
Funktion und Abbildung heute weitgehend synonym verwendet.
Traditionell findet der Begriff der
Abbildung sich eher im Bereich der
Linearen Algebra, während in der
Analysis der Begriff der
Funktion verbreiteter ist.
Die Begriff lineare Funktion wird nicht einheitlich gebraucht. Zum einen bedeutet lineare Funktion dasselbe wie eine lineare Abbildung. Lineare Funktionen in diesem Sinne findet man z.B. in der Differentialgeometrie, wobei es sich um lineare Abbildungen von einem (Tangential-)Vektorraum in die reellen Zahlen handelt.
Andererseits wird mit dem Begriff lineare Funktion oft (besonders in der Schule) eine Abbildung der Form
- ,
also ein
Polynom erster Ordnung, bezeichnet. Eine solche Funktion wird auch
allgemeine lineare Funktion oder
linear-inhomogene Funktion genannt. Im mathematisch strengen Sinn handelt es sich dabei jedoch um eine
affine Abbildung. Für den Spezialfall wird daraus ein
lineare Funktion im eigentlichen Sinne, auch als
homogene lineare Funktion oder
Proportionalität bezeichnet.
Der Graph dieser einfachen Funktion ist eine Gerade (umgangssprachlich eine Linie). In kartesischen Koordinaten erfüllen solche Geraden also die Gleichung
- ,
wobei
x (die
Abszisse) unabhängige und
y (die
Ordinate) abhängige Variablen sind.
Die Zahl
m gibt den linearen Faktor oder die Steigung der Geraden an.
Die Zahl
b ist die Inhomogenität oder der
y-Achsenabschnitt.
Lineare Funktionen sind die einfachsten Funktionen in der Mathematik.
Sie sind
stetig und
differenzierbar.
Viele Probleme lassen sich für lineare Funktionen leicht lösen;
daher versucht man oft, komplizierte Problemstellungen durch lineare Zusammenhänge zu approximieren.