Integration durch Substitution
Dieser Artikel enthält mathematische Symbole. Diese werden in der Tabelle mit mathematischen Symbolen erläutert.
Die Substitutionsregel ist ein wichtiges Hilfsmittel um Stammfunktionen und Integrale zu berechnen. Sie ist das GegenstĂźck zur Kettenregel in der Differentialrechnung.
Table of contents |
2 Substitution eines unbestimmten Integrals |
Wenn f(x) eine integrierbare Funktion ist und Ď(t) eine stetig differenzierbare und streng monotone Funktion, die im Intervall [a, b] definiert ist und deren Bildbereich im Wertebereich von f ist. Dann gilt
Berechnung des Integrals
Berechnung des Integrals:
Wenn f(x) eine integrierbare Funktion ist und Ď(t) eine stetig differenzierbare und streng monotone Funktion, deren Bildbereich im Wertebereich von f ist. Dann gilt
Substitution eines bestimmten Integrals
Diese Formel wird benutzt, um ein Integral in ein anderes Integral zu transformieren, das einfacher zu bestimmen ist.Beispiel
Durch die Substitution x = t2 + 1, erhalten wir dx = 2t dt und
Man beachte, dass die untere Grenze des Integrals t = 0 in x = 02 + 1 = 1 umgewandelt wurde und die obere Grenze t = 2 in x = 22 + 1 = 5.
Man substitutiert x = sin(t), dx = cos(t) dt (mit â(1-sin2(t)) = cos(t) ergibt sich die letzte Gleichung):
Das Ergebnis kann mit Partieller Integration berechnet werden oder mit der trigonometrischen Formel
und einer weiteren Substitution.Substitution eines unbestimmten Integrals
Nachdem man eine Stammfunktion der substituierten Funktion bestimmt hat, macht man die Substitution rßckgängig und erhält eine Stammfunktion der ursprßnglichen Funktion.