Geradengleichung
Eine Geradengleichung beschreibt in der Mathematik eine Gerade eindeutig. Die Abbildung zeigt eine Gerade g durch zwei gegebene Punkte P und Q in einem kartesischen Koordinatensystem. Durch zwei voneinander verschiedene Punkte lässt sich in der euklidischen Geometrie immer genau eine Gerade konstruieren.
Table of contents |
2 Zweipunkteform 3 Achsenabschnittsform 4 Parameterform (Punktrichtungsform) 5 Normalform 6 Hessesche Normalform 7 Gerade im Raum |
Die Koordinatenform folgt immer dem Schema:
n ist der Achsenabschnitt auf der y-Achse, also die Verschiebung der Geraden entlang der y-Achse relativ zum Ursprung des Koordinatensystems (für n = 0 ergibt sich eine Gerade durch den Ursprung, eine Ursprungsgerade).
x und y sind Platzhalter für die Koordinatenwerte aller Punkte, die die Geradengleichung erfüllen und somit auf dem Graphen der Gerade liegen.
Koordinatenform
m ist die Steigung der Geraden,
Ein Punkt P mit der x-Koordinate x hat eine y-Koordinate, die sich aus n und m · x zusammensetzt. Die Steigung m ist die senkrechte Kathete des (blau gefärbten) Steigungsdreiecks, dessen waagerechte Kathete 1 ist. Wird diese auf das x-fache vergrößert (gelbes Dreieck), so vergrößert sich auch die senkrechte Kathete auf das x-fache (Strahlensatz), also m · x. Zusammen mit dem Achsenabschnitt n folgt für die y-Koordinate:
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- ,
- ,
Zweipunkteform
Die Steigung m der Geraden kann mit Hilfe des Differenzenquotienten folgendermaßen errechnet werden:
- .
- .
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- .
Achsenabschnittsform
Die Achsenabschnitte ax und ay ergeben sich aus den beiden Achsenschnittpunkten Sx und Sy, die man auch Spurpunkte nennt.
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Parameterform (Punktrichtungsform)
Es gibt auch die Möglichkeit, eine Gerade mit Hilfe der Vektorrechnung zu beschreiben.
ist der Ortsvektor eines fixen Punktes (z.B. P0),Das Beispiel würde dann so aussehen:ist der Richtungsvektor,
ist ein Skalar und gibt an, wie lange in diese Richtung gezählt wird.
Mit einem Normalenvektor , der im rechten Winkel zur Geraden steht, lässt sich die Gerade in Normalform (in anderer Notation: Normalenform) schreiben:
Normalform
oder
Darin ist c eine Konstante und das Skalarprodukt. Diese Darstellung beruht auf der Eigenschaft des Skalarproduktes, nach dem
- mit .
- mit .
- .
- .
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Hessesche Normalform
Sie leitet sich aus der Normalform ab. Offenbar ist der Betrag von identisch mit dem Abstand d der Geraden vom Ursprung. Aus
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- .
- .
- ,
Zur Beschreibung einer Geraden im (dreidimensionalen) Raum ist nur die Parameterform
Siehe auch: Vektorrechnung, ParameterdarstellungGerade im Raum
gebräuchlich, da eine Raumgerade weder Achsenabschnitte noch einen eindeutig bestimmten Normalenvektor besitzt (zu einer Geraden im Raum gibt es unendlich viele auf ihr senkrecht stehende Richtungen). , und sind dabei nun Vektoren im Raum.