Tangentialraum
Bitte um etwas Geduld: die englischen Teile werden nach und nach adaptiertIn der Differentialgeometrie ist ein Tangentialraum TpM ein Vektorraum, der in einem Punkt p eine differenzierbare Mannigfaltigkeit M «berührt» und mit deren lokaler Vektorraumstruktur übereinstimmt.
In der Algebraischen Geometrie muss man diesen Definitionsansatz modifizieren, um singuläre Punkte und wechselnde Dimensionen zu berücksichtigen.
In diesem Artikel befassen wir uns nur mit dem Tangentialraum über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit im Sinne der Differentialgeometrie.
Am einfachsten ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit zu veranschaulichen, die als Untermannigfaltigkeit in einen höherdimensionalen Euklidischen Raum eingebettet ist, zum Beispiel die Kugel (=Kugeloberfläche) S2 im R3. Der Tangentialraum in einem Punkt p∈S2 ist dann eine Ebene, die genau diesen einen Punkt mit der Kugel teilt und in diesem Punkt ihren Ursprung hat.
Ein Vektorfeld ordnet jedem Punkt p einer Mannigfaltigkeit M einen Vektor aus dem je zugehörigen Tangentialraum TpM zu. Zum Beispiel könnte man mit einem Vektorfeld die Windstärke und -richtung auf der Erdoberfläche angeben.
Alle Tangentialräume einer Mannigfaltigkeit M werden als Tangentialbündel von M zusammengefasst; das Tangentialbündel ist selbst eine Mannigfaltigkeit; seine Dimension ist doppelt so groß wie die von M. Physiker denken dabei an einen Phasenraum.
In der Literatur ist es üblich, gleich drei verschiedene Definitionen anzugeben, die einer geometrischen, einer algebraischen und einer theoretisch-physikalischen (auf Tensoren hinarbeitenden) Sichtweise entsprechen. Leider erweist sich der anschauliche geometrische Zugang in der Anwendung als der am mühsamsten zu handhabende.
Wir nehmen an, die M sei eine n-dimensionale Ck Mannigfaltigkeit mit k ≥ 1. Wir wählen einen Punkt p aus M, eine offene Umgebung U von p und eine Karte φ : U → Rn.
Wir betrachten eine Familie von Kurven {γi} mit γi : (-1,1) → M und γi(0) = p. Wir fordern außerdem, dass die Ableitung (φ o γi)'(0) der Funktion φ o γi : (-1,1) → Rn im Punkt 0 existiert. Diese Ableitung ist ein Vektor in Rn. Kurven γi, für die (φ o γi)'(0) übereinstimmt, bilden eine Äquivalenzklasse. Eine solche Äquivalenzklasse nennt man einen Tangentenvektor von M in p und schreibt dafür γ'(0). Der Tangentialraum TpM ist die Menge aller dieser Tangentenvektoren; man kann zeigen, dass er nicht von der Wahl der Karte φ abhängt.
Es bleibt zu zeigen, dass TpM durch Erklärung von Vektoraddition und Skalarmultiplikation zu einem Vektorraum gemacht werden kann. Dazu konstruieren wir die Abbildung (dφ)p : TpM → Rn mit (dφ)p(γ'(0)) = (φ o γ)'(0), wobei die Funktion γ auf der rechten Seite ein beliebiger Repräsentant der Äquivalenzklasse γ'(0) ist. Man zeigt nun, dass diese Abbildung bijektiv ist und überträgt mit ihrer Hilfe die Vektorraumoperationen von Rn nach M; man zeigt außerdem, dass diese Konstruktion von der Wahl der Karte φ unabhängig ist.
Supppose M is a C∞ manifold. A real-valued function g : M → R belongs to C∞(M) if g o φ-1 is infinitely often differentiable for every chart φ : U → Rn. C∞(M) is a real associative algebra.
Pick a point p in M. A derivation at p is a linear map D : C∞(M) → R which has the property that for all g, h in C∞(M):
The relation between the tangent vectors defined earlier and derivations is as follows: if γ is a curve with tangent vector γ'(0), then the corresponding derivation is D(g) = (g o γ)'(0) (where the derivative is taken in the ordinary sense, since g o γ is a function from (-1,1) to Rn).
Again we start with a C∞ manifold M and a point p in M. Consider the ideal I in C∞(M) consisting of all functions g such that g(p) = 0. Then I and I 2 are real vector spaces, and TpM may be defined as the dual space of the quotient space I / I 2. This latter quotient space is also known as the cotangent space of M at p.
While this definition is the most abstract, it is also the one most easily transferred to other settings, for instance to the varieties considered in algebraic geometry.
If D is a derivation, then D(g) = 0 for every g in I2, and this means that D gives rise to a linear map I / I2 → R. Conversely, if r : I / I2 → R is a linear map, then D(g) = r((g - g(p)) + I 2) is a derivation. This yields the correspondence between the tangent space defined via derivations and the tangent space defined via the cotangent space.
If M is an open subset of Rn, then M is a C∞ manifold in a natural manner (take the charts to be the identity maps), and the tangent spaces are all naturally identified with Rn.
One way to think about tangent vectors is as directional derivatives. Given a vector v in Rn one defines the directional derivative of a smooth map f : Rn→R at a point p by
Since tangent vectors to a general manifold can be defined as derivations it is natural to think of them as directional derivatives. Specifically, if v is a tangent vector of M at a point p (thought of as a derivation) then define the directional derivative in the direction v by
Every differentiable map f : M → N between Ck manifolds induces natural linear maps between the corresponding tangent spaces:
The linear map (df)p is called variously the derivative, total derivative, differential, or pushforward of f at p. It is frequently expressed using a variety of other notations
An important result regarding the derivative map is the follwing:
Übersicht
Formale Definitionen
Geometrische Definition: Richtungsfelder von Kurven
Algebraische Definition: verallgemeinerte Ableitungen
modeled on the product rule of calculus. These derivations form a real vector space in a natural manner; this is the tangent space TpM. Physikalische Definition: Kotangentialraum
Eigenschaften
Tangent vectors as directional derivatives
This map is naturally a derivation. Moreover, it turns out that every derivation of C∞(Rn) is of this form. So there is a one-to-one map between vectors (thought of as tangent vectors at a point) and derivations.
where f : M → R is an element of C∞(M).
If we think of v as the direction of a curve, v = γ'(0), then we write
The derivative of a map
defined by
if the tangent space is defined via curves and by
if the tangent space is defined via derivations.
In a sense, the derivative is the best linear approximation to f near p. Note that when N = R, the map (df)p : TpM→R coincides with the usual notion of the differential of the function f. In local coordinates the derivative of f is given by the Jacobian.
This is a generalization of the inverse function theorem to maps between manifolds.