Residuensatz
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Residuum
Der Cauchysche Integralsatz besagt:
Ist eine Funktion f (z) in einem einfach zusammenhängenden Gebiet G holomorph,
so hat für jede vollständig in G verlaufende geschlossene Kurve K das Integral der Funktion
längs dieser Kurve den Wert 0,
Werden die genannten Voraussetzungen so geändert, dass f in einem einzelnen Punkt a innerhalb der Kurve nicht holomorph ist, so hat das Integral in der Regel einen Wert ungleich 0, es verbleibt ein "Rest".
Der Index einer Kurve zu einem Punkt - alternativ auch als Umlauf- oder Windungszahl bezeichnet -
lässt sich anschaulich wie folgt darstellen:
Dieser Integralwert dividiert durch ( 2 * π * i ) , der "Restwert des Integrals"
wird als Residuum von f in a bezeichnet:
Erweiterung: Die Residuumsdefinition mit Hilfe einer einfach geschlossenen Kurve lässt sich zu einer Aussage für eine mehrfach geschlossen Kurve K erweitern, es gilt
Anmerkung: Falls f auch in a holomorph ist, besitzt das Residuum den Wert 0,
die obenstehende Aussage ergibt erneut den Cauchyschen Integralsatz.
Für die komplexen Konstanten der Laurentreihen gilt:
Speziell für den Fall n = - 1 gilt:
Anmerkung: Falls f auch in a holomorph ist, besitzen alle cn mit n < 0
und damit auch das Residuum den Wert 0 - aber das hatten wir ja schon weiter oben.
Es sei G ein einfach zusammenhängendes Gebiet, a1, a2, ..., am
seien Punkte in G und f (z) eine in ganz G
außer möglicherweise in den Punkten a1, a2, ..., am
holomorphe Funktion.
Dann gilt für jede geschlossene Kurve K in G, die nicht durch einen dieser Punkte
führt, der Residuensatz:Umlaufrichtung und Index
I ( K , a ) = Anzahl der Umläufe von K um a entgegen dem Uhrzeigersinn
- Anzahl der Umläufe von K um a im Uhrzeigersinn.
Definition des Residuums
Es sei G ein einfach zusammenhängendes Gebiet, a ein Punkt in G und f (z) eine in ganz G
außer möglicherweise in a holomorphe Funktion.
Dann gilt für ''jede'\' geschlossene Kurve K in G, die a genau einmal entgegen dem Uhrzeigersinn umläuft:
Das Integral längst dieser Kurve ergibt eine komplexe Zahl, deren Wert unabhängig von der konkreten Kurve ist.Laurentreihe und Residuum
Es sei U eine offene Teilmenge der komplexen Zahlen, a ein Punkt in U und f (z) eine in ganz U
außer möglicherweise in a holomorphe Funktion.
Dann gilt für jede abgeschlossene Kreisscheibe mit Rand R um den Mittelpunkt a, die vollständig in U liegt:
f lässt sich im punktierten Inneren der Kreisscheibe durch eine Laurentreihe darstellen,
d.h. für alle inneren Punkte der Scheibe außer möglicherweise a selbst gilt:
, bzw.Residuensatz
Der Residuensatz besagt, dass sich bei der Existenz mehrerer "Ausnahmepunkte" im Innern einer geschlossenen Kurve bei der Bildung des Integrals die einzelnen Residuen addieren.einfaches Beispiel
Zum nebenstehendem Bild soll der Ausdruck Jv,w den Wert des Integrals von v nach w
bezeichnen, damit ergibt sich nach der Definition des Residuums:
Addiert man bei den beiden Gleichungen jeweils die linke und die rechte Seite
und berücksichtigt außerdem, dass Jv,w und Jw,v sich gegenseitig aufheben, dann gilt:
Residuensatz
Die Aussage des Beispiels lässt sich für eine beliebige, jedoch endliche Anzahl von
Ausnahmepunkten a1, a2, ..., am erweitern.
Dabei kann zu den einzelnen Punkten der Kurvenindex zu den Punkten berücksichtigt werden.