Holomorphie
siehe auch : Komplexe Zahlen || Komplexe Teilmengen
In der reellen Analysis kann man eine Funktion für einzelne Punkte ihres Definitionsbereiches auf die beiden folgenden Eigenschaften überprüfen:
- Die Funktion ist an diesem Punkt differenzierbar.
- Die Funktion lässt sich um diesen Punkt durch eine Potenzreihe mit positiven Konvergenzradius darstellen.
Wenn eine komplexwertige Funktion in einem Punkt diese beiden Eigenschaften besitzt, wird sie als holomorph in diesem Punkt bezeichnet. Als Synonyme für den Begriff holomorph werden gelegentlich die Begriffe analytisch und regulär gebraucht.
Als dritte und gleichwertige Eigenschaft für den Holomorphiebegriff kann man die lokale Gültigkeit der Cauchyschen Integralformel heranziehen.
Viele wichtige Eigenschaften holomorpher Funktionen lassen sich direkt aus den obigen Bedingungen herleiten (beliebig oft differenzierbar, Darstellung der Taylorkoeffizienten, ...).
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2 Anmerkungen |
0: Die Funktion h ist in allen Punkten von U holomorph, h ist in U holomorph.
1: Die Funktion h ist in allen Punkten von U komplex-differenzierbar.
2: Zu jedem Punkt z0 in U lässt sich zu jeder abgeschlossenen Kreisscheibe K um
z0, die vollständig in U liegt, jeder Funktionswert von h zu einem inneren Punkt von K
durch eine Potenzreihe um z0 darstellen.
3: Zu jedem Punkt z0 in U lässt sich zu jeder abgeschlossenen Kreisscheibe K um
z0 mit Rand R, die vollständig in U liegt, jeder Funktionswert von h zu einem
inneren Punkt z von K durch ein Integral längs des Randes R darstellen:
4: Die Pompeiu-Wirtinger-Ableitung nach verschwindet auf , das heißt: für alle gilt:
Beispielsweise ist f (x) = x · x · |x| für alle reelle Zahlen außer 0 beliebig oft differenzierbar.
Im Nullpunkt ist diese Funktion jedoch nur zweifach differenzierbar, d.h. hier existiert zwar die
zweite Ableitung von f, diese kann jedoch nicht erneut differenziert werden.
Bei komplexwertigen Funktionen in C gilt dagegen:
Die Ableitung einer holomorphen Funktion ist selbst ebenfalls wieder holomorph
und kann damit immer erneut differenziert werden.
Bei einer komplexwertigen Funktionen f in C gilt für einen Punkt z des Definitionsbereiches:
Zu zwei beliebigen Funktionen f und g aus H (U) seien Addition und Multiplikation wie folgt punktweise definiert:
Fordert man weiterhin, dass U zusammenhängend, d.h. ein Gebiet ist,
erhält man unter sonst gleichen Bedingungen einen Integritätsring.
Ersetzt man weiterhin H (U) durch die Menge aller nullstellenfreier holomorpher Funktionenen in
diesem Gebiet, erhält man unter sonst gleichen Bedingungen einen Körper.Holomorphie
Es sei U eine offene Teilmenge der komplexen Zahlen C und h eine Funktion,
die U auf C abbildet, d.h. zu jedem Punkt z aus U existiert ein komplexer Funktionswert h (z).
Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig:Anmerkungen
n-fach differenzierbar ?
In der reellen Analysis unterscheidet man, wie oft eine Funktion in einem Punkt differenzierbar ist.Algebraische Eigenschaften
Zu einer nichtleeren offenen Menge U sei H (U) die Menge aller in U holomorpher Funktionen.
Dann bildet H (U) zusammen mit definierter Addition und Multiplikation einen
kommutativen Ring.
Null- und Eins-Element des Ringes sind die konstanten Funktionen, die jeden Punkt aus U
auf 0, bzw. 1 abbilden.