Pfadintegral
Das Pfadintegral ist ein mathematisches Konstrukt, das in der physikalischen Feldtheorie verwandt wird.Das Pfadintegral besteht aus im Grenzwert unendlich vielen, nacheinander auszuführenden ein- oder mehrdimensionalen Integralen; es ist unbedingt zu unterscheiden von dem Kurvenintegral der Funktionentheorie und Vektoranalysis. Die Verwechslungsgefahr rührt vor allem aus dem Englischen, in dem sowohl das Pfad- als auch das Kurvenintegral path integral genannt werden. Zur Unterscheidung wird das Pfadintegral im Englischen auch functional integral genannt. Die mathematische Präzisierung des Pfadintegrals fällt in die Funktionalanalysis.
Die so genannte Pfadintegralmethode wird insbesondere in der Quantenmechanik und in der Quantenfeldtheorie angewendet.
Mit einem Pfadintegral integriert man nun nicht nur über den klassischen Pfad, sondern über alle Pfade, das heißt, das Teilchen gelangt nun von A nach B auf allen möglichen Pfaden. Man nennt das auch Summe aller Pfade. Die Amplitude ist bei jedem Pfad gleich, aber die Phase, die von der jeweiligen Wirkung bestimmt wird, ist unterschiedlich. Somit trägt der klassische Pfad am meisten bei, da bei ihm die Wirkung am wenigsten variiert. Wenn die Wirkung variiert, hebt sich hingegen der größte Teil des Integrals weg. Bei Wirkungen, die groß gegen das Plancksche Wirkungsquantum sind, oszilliert der Integrand so schnell, dass sich alles weghebt (klassischer Grenzfall). In der Quantenmechanik jedoch sind die Wirkungen in der Größenordnung von dem Planckschen Wirkungsquantum, so dass auch Pfade neben dem klassischen einen Beitrag liefern.
Im Ganzen ist das Pfadintegral ein Ausdruck für einen Propagator, das heißt, wenn man ihn berechnet hat und die Wahrscheinlichkeitsamplitude einer Wellenfunktion zu einem Zeitpunkt und an einem Ort kennt, dann weiß man mit dem Propagator (nach Integration über alle Anfangsorte) auch die Wahrscheinlichkeitsamplitude zu einem anderen Zeitpunkt.Pfadintegral in der Physik
Beispiel
Im klassischen Fall bewegt sich ein freies Teilchen (ohne Potenzial) nur auf einer Geraden von einem Punkt A zu einem Punkt B. Der Weg, den es beschreibt, kann man mit dem Prinzip der kleinsten Wirkung berechnen, in diesem Fall trivialerweise eine Gerade. (Ein Beispiel für einen Fall mit Potenzial ist der eines Lichtstrahls der Medien unterschiedlicher optischer Dichte passiert, hier ist der günstigste Weg (optischer Weg) keine Gerade mehr.) Umgekehrt kann man dem sich bewegenden Teilchen eine Wirkung zuordnen: Das Integral der Differenz zwischen kinetischer und potentieller Energie von Startzeitpunkt, an dem sich das Teilchen in A befindet, bis zum Endzeitpunkt, an dem sich das Teilchen in B befindet.