Nichtstandardanalysis
Nichtstandardanalysis ist ein Gebiet der Mathematik, das sich mit nicht-archimedischen Körpern beschäftig. Der wichtigste Unterschied zur normalen Analysis besteht darin, dass in der Nichtstandardanalysis auch unendlich große und unendlich kleine Zahlen vorkommen.Statt den in der Standard-Analysis üblichen reellen Zahlen werden so genannte hyperreelle Zahlen verwendet. Hyperreelle Zahlen erfüllen die gleichen Axiome wie die reellen Zahlen mit Ausnahme des archimedischen Axioms. Das bedeutet, dass in diesem Rahmen auch Zahlen, so genannte Infinitesimale, vorkommen können, die kleiner oder größer als jede reelle Zahl sind.
Das erste Modell einer Nichtstandardanalsis wurde in den 1960ern von Abraham Robinson entwickelt. Er verwendete dieses, um einen Satz aus der Funktionalanalysis zu zeigen, nämlich dass jeder polynomial kompakte Operator in einen Hilbertraum einen invarianten Unterraum besitzt. Allerdings ist die Konstruktion nicht konstruktiv, sie benötigt Ultrafilter und das Auswahlaxiom.
In der Nichtstandardanalysis können die in der Analysis üblichen Begriffe wie Ableitung oder Integral ohne Grenzwert definiert werden. In dieser Hinsicht ist die Nichtstandardanalysis näher bei den Ideen der Gründer der Infinitesimalrechnung, Newton und Leibniz. Im Unterschied zu deren Verwendung von "unendlich kleinen Grössen" ist die Nichtstandardanalysis jedoch logisch einwandfrei und ohne Widersprüche.
Die Nichtstandardanalysis wird als ein Forschungsgebiet der reinen Mathematik angesehen. In der angewandten Mathematik findet diese selten Verwendung, was mit dem nicht-konstruktiven Vorgehen und der fehlenden Anschaulichkeit zusammenhängen mag.