Minimum (Mathematik)
Das Minimum ist eine mathematische Funktion, deren Rückgabewert jener Parameter ist, der im Vergleich zu anderen Parametern am kleinsten ist. Die Minimum-Funktion ist somit nur für Parameter definiert, die eine totale Ordnung haben.Die Parameter können auch alle Werte einer Funktion sein. Ist dies der Fall, dann ist der Rückgabewert das globale Minimum der Funktion. Bei Funktionen spricht man auch von einem lokalen Minimum an einer Stelle, die das Minimum eines Bereiches der Funktion, aber nicht der gesamten Funktion ist. Die Minima und Maxima der Funktion werden alle als Extremwerte bezeichnet.
Nicht zu verwechseln ist das Minimum mit dem Infimum, das die größte untere Schranke ist, also nicht notwendig zur Menge gehört, von der das Minimum bestimmt werden soll.
Siehe auch: Maximum (Mathematik), Kurvendiskussion
Man kann minimale Elemente einer Menge nicht nur für total geordnete Mengen definieren, sondern für beliebige halbgeordnete Mengen.
Eigenschaften
Hat eine total geordnete Menge ein minimales Element, so ist es das kleinste Element.Verallgemeinerung auf halbgeordnete Mengen
Davon zu unterscheiden ist der Begriff des kleinsten Elements.
Beispiel
Die Menge der nichtleeren Teilmengen der Menge {0,1,2} ist bezüglich der Mengeninklusion halbgeordnet. Minimale Elemente sind {0}, {1} und {2}, allerdings ist keins von ihnen ein kleinstes Element, da z.B. {0} nicht größer ist als {1}.
Hat eine Menge ein kleinstes Element, dann ist es eindeutig bestimmt und ist das einzige minimale Element der Menge.