Elementare Algebra
Die Elementare Algebra ist die grundlegende Form der Algebra, die man in der Schule lernt. Während in der Arithmetik nur reelle Zahlen und ihre Verknüpfungen auftreten, gibt es in der Algebra auch Symbole (meist Buchstaben wie a, i, j, x, y), die Zahlen bezeichnen.Dies ist nützlich, denn
- es erlaubt die Formulierung allgemeingültiger arithmetischer Gesetze (beispielsweise a + b = b + a für alle a und b) und dient so der systematischen Erkundung der Eigenschaften des Systems der reellen Zahlen,
- es erlaubt, über "unbekannte" Zahlen zu sprechen, und so Gleichungen aufzustellen und ihre Lösungsmöglichkeiten zu untersuchen (zum Beispiel "finde die Zahl x mit 3x + 2 = 10"),
- es erlaubt die Beschreibung funktionaler Abhängigkeiten (beispielsweise "wenn du x Eintrittskarten verkaufst, dann machst du einen Gewinn von 3x - 10€").
In der Algebra besteht ein Ausdruck aus Zahlen, Variablen und arithmetischen Operationen, zum Beispiel a + 3, x2 - 4. Eine Gleichung besteht aus zwei Ausdrücken, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind. Manche Gleichungen sind erfüllt für alle Werte der beteiligten Variablen (wie beispielsweise a+(b+c) = (a+b)+c), diese nennt man Identitäten. Andere Gleichungen sind nicht für jeden möglichen Wert der Variablen erfüllt und wir sind an den Werten interessiert, für die die Gleichung erfüllt ist - den Lösungen der Gleichung. Zum Beispiel ist die Gleichung x2 - 4 = 0 nur für die Werte 2 und -2 von x erfüllt.
Wie in der Arithmetik ist es auch in der Algebra wichtig, genau zu wissen, wie mathematische Ausdrücke interpretiert werden. Dies wird von den Vorrangregeln der Operationen bestimmt (beispielsweise "Punkt- vor Strichrechnung", Klammern zuerst ausrechnen).
Es ist auch nötig, Ausdrücke vereinfachen zu können. Zum Beispiel kann der Ausdruck
- -4(2a + 3) - a
- -9a-12
- 2x + 3 = 10
- 2x = 7
- x = 7/2
Gleichungen wie
- x2 + 3x = 5
Gleichungen können viele Variablen enthalten, und für manche kann man eindeutige Werte bestimmen, für andere nicht. Zum Beispiel:
- (x - 1) * (x - 1) = y * 0