Quadratische Gleichung
Unter einer Quadratischen Gleichung versteht man eine mathematische Gleichung mit einer Unbekannten (im Folgenden mit x bezeichnet), die nur positive ganzzahlige Exponentenen hat und deren höchster Exponent 2 ist (die also aus Polynomen des Grades 2 aufgebaut ist).Ein Beispiel ist
Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet
- x² + p·x + q = 0
Table of contents |
2 Beispiele 3 Verallgemeinerung (abstrakte Algebra) 4 Weblinks |
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt jede quadratische Gleichung (mit reellen oder komplexen Koeffizienten) zwei Wurzeln, auch Lösungen genannt.
Diese Lösungen, wenn sie für x in die Gleichung eingesetzt werden, erfüllen die Gleichung.
Die Wurzeln sind im allgemeinen komplexe Zahlen, und nicht notwendigerweise reelle Zahlen.
Wenn man sich auf reelle Wurzeln beschränkt, sind manche quadratischen Gleichungen somit nicht auflösbar.
Außerdem gibt es auch den Fall, dass beide Wurzeln gleich sind; man spricht dann von einer doppelten Wurzel.
Sind die Koeffizienten reelle Zahlen, dann sind entweder beide Wurzeln reell oder beide nicht reell.
Zum Finden von Wurzeln einer quadratischen Gleichung kann man die Quadratische Ergänzung benutzen.
Daneben ist die pq-Formel verbreitet (auch kleine Lösungsformel genannt), sie wird im Artikel Quadratische Ergänzung hergeleitet.
Wenn die Gleichung in Normalform als
Allgemein:
Im obigen Beispiel
Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen (die Diskriminante D) bestimmt für eine Gleichung mit reellen Koeffizienten, wie viele reelle Lösungen die Gleichung hat. Wenn
Wurzeln (Lösungen) der quadratischen Gleichung
Lösungsformeln
geschrieben ist, dann sind die Wurzeln durch
und
gegeben.
sind
und
Mit diesen Wurzeln kann man die quadratische Gleichung auch faktorisieren:
Eine allgemeine quadratische Gleichung
hat die Lösungen
(Große Lösungsformel, auch abc-Formel genannt, unter Schülern auch als "Mitternachtsformel" bekannt.)Aussagen über die Wurzeln
Beispiele
x² + 12·x + 20 | =0 | Beide Wurzeln sind negativ: -2 und -10 |
x² - 12·x + 35 | =0 | Beide Wurzeln sind positiv: +7 und +5 |
x² + 12·x + 37 | =0 | Es gibt keine reellen Wurzeln, weil das Quadrat der Hälfte von 12 36 ist, also kleiner als 37. |
x² + 2·x - 35 | =0 | Die Wurzeln haben unterschiedliches Vorzeichen: -7 und +5 |
Allgemein nennt man eine Gleichung der Form
Verallgemeinerung (abstrakte Algebra)
mit Elementen p, q eines Körpers oder Rings eine quadratische Gleichung. In einem Körper und bestimmten Ringen (faktorielle Ringe) hat sie höchstens zwei Lösungen, in beliebigen Ringen kann sie mehr als zwei haben.
Falls Lösungen in dem betrachteten Ring oder Körper existieren, dann erhält man sie ebenfalls mit der pq-Formel, wobei man allerdings alle möglichen Quadratwurzeln der Diskriminante berücksichtigen muss.
Z.B. hat die quadratische Gleichung
- x² - 1 = 0
Weblinks