Duration
Die Duration ist eine Kennzahl aus der Finanzmathematik, welche angibt, wie stark sich der Gesamtertrag einer Anleihe (bestehend aus den Tilgungen, Kuponzahlungen, sowie Zinseszinseffekt bei der Wiederveranlagung der Rückzahlungen) ändert, wenn sich der Zinssatz am Markt ändert. Sie wurde im Jahr 1938 durch Frederick Macaulay entwickelt und wird deshalb auch Macaulay-Duration genannt. Ein anderer Terminus ist Mittlere Restbindungsdauer.
Table of contents |
2 Portfolioduration 3 Modified Duration 4 Bewertung des Durationskonzeptes 5 Preisabschätzung |
Der Barwert oder Dirty Price einer Anleihe lässt sich allgemein durch Abdiskontieren der zukünftigen Zahlungen (d.h. der (oftmals jährlich) anfallenden Kuponzahlungen sowie der Kupon- und Tilgungszahlung im Zeitpunkt n) berechnen:
Leitet man nun die zweite Formel nach dem (annahmegemäß laufzeitunabhängigen) Zinssatz r ab, so erhält man:
Macaulay Duration DMac:
Neben der Laufzeit einer Anleihe ist somit auch das zeitliche Anfallen der Zahlungen von Bedeutung. Die Duration verknüpft diese beiden relevanten Komponenten auf multiplikative Weise, gewichtet also den jeweiligen Zahlungszeitpunkt t mit dem relativen Beitrag zum Dirty Price. Eine höhe Duration lässt auf eine tendenziell hohe Zinssensitivität schließen.
Die Duration ist umso höher, je niedriger der Kupon ist. Für den Extremfall der Nullkuponanleihe gilt, dass die Duration mit der Restlaufzeit der Anleihe übereinstimmt.
Durationskonzept
Modellannahmen
Folgende Annnahmen werden beim Durationskonzept getroffen:
Herleitung der Durationsformel
oder
mit
P0 = Barwert (Dirty Price) im Betrachtungszeitpunkt t0
Ct = Zahlung zum Zeitpunkt t (in Jahren)
rt = Für die Laufzeit t gültiger Zinssatz
T = Laufzeitende der Anleihe (letzte Zahlung)
Divison der Ableitung durch den Barwert P0 in t0 liefert:
Der berechnete Ausdruck stellt die approximative relative Preisänderung bei (kleiner) Zinsänderung dar. Eine derartige Definiton der Macaulay-Duration hat historische Gründe.
Die Macaulay Duration wird in der Einheit Jahren gemessen.Aussagekraft der Duration
Für die Beurteilung der Zinssensitivität einer Anleihe ist es nicht ausreichend, nur die Laufzeit zu betrachten:
Beispielsweise weist ein Zerobond mit nur einer einzigen Zahlung zum Laufzeitende eine weitaus größere Zinsempfindlichkeit auf, als eine Anleihe gleicher Laufzeit, bei der bspw. jährlich Kuponzalungen geleistet werden.Portfolioduration
Um die Duration eines Portfolios zu bestimmen, berechnet man im ersten Schritt die Durationen der Anleihen des Portfolios. Die Portfolioduration ergibt sich dann als die mit dem Anteil am Portfoliogesamtwert jeder Anleihe gewichte Summe der einzelnen Anleiheduratonen:
mit
DPF = Duration des Portfolios
xi = Anteil der Anleihe i am Portfoliogesamtwert
Di = Duration der Anleihe i
N = Anzahl der verschiedenen Anleihen im PortfolioModified Duration
Die Macaulay Duration wird in der Einheit Jahren gemessen, was die praktische Anwendbarkeit stark verkompliziert. Viel wünschenswerter wäre es, eine Aussage über die relative Veränderung des Anleihekurses in Abhängigkeit einer Veränderung des Marktzinsniveaus r.
Dies liefert die Modified Duration, DMD, die wie folgt mit der Macaulay Duration in Zusammenhang steht:
Sie gibt an, um wieviel Prozent sich der Anleihekurs ändert, wenn sich das Marktzinsniveau um ein Prozent ändert, d.h. sie misst den durch eine marginale Zinssatzänderung ausgelösten Kurseffekt und stellt somit eine Art Elastizität des Anleihekurses vom Marktzinssatz dar.
Da auch hierbei die sehr restriktiven Annahmen des Durationskonzeptes gelten, ist eine praktische Anwendbarkeit wieder nur auf bei sehr geringen Zinsänderungen gegeben.Bewertung des Durationskonzeptes
Da sich die Zinsen in der Regel nicht diskret, sondern stufenweise ändern, und die Abhängigkeit des Anleihenkurses vom Zinssatz keine lineare Beziehung darstellt, sind die Änderungen, die die Duration berechnet, nicht ganz exakt. Der Kursrückgang wird überschätzt, wenn der Zins steigt und die Kurssteigerung wird unterschätzt, wenn der Zins fällt.
Dieser Fehler, ausgelöst durch die Approximation einer nicht-linearen Beziehung durch eine lineare, fällt bei nur geringen Zinsänderungen kaum ins Gewicht. Bei größeren Zinsänderungen steigt dieser Konvexitätsfehler jedoch stark an, eine Linderung dieses Fehlers bietet das Einbeziehen der Konvexität bei der Preisabschätzung.