Dedekindscher Schnitt
In der Mathematik ist ein Dedekindscher Schnitt in einer totalgeordneten Menge S eine Partition (A, B) von S, so dass A nach unten abgeschlossen ist (jedes x in S mit x ≤ a für ein a aus A ist ebenfalls in A) und B nach oben abgeschlossen ist. Ist a ein Element von S, so ist die Menge
Die Dedekindschen Schnitte sind nach Richard Dedekind benannt, der diese Konstruktionsmethode erfand um die reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte rationaler Zahlen darzustellen. Ein typischer Schnitt in den rationalen Zahlen ist
Wir können einige arithmetische Operatoren und mengentheoretische Begriffe die wir für reelle Zahlen bereits kennen für Dedekindsche Schnitte analog definieren:
1. Vergleich. Zwei Dedekindscher Schnitte, (Ax, Bx) and (Ay, By) sind gleich:
- und (Ax, Bx) ist kleiner oder gleich (Ay, By), wenn:
2. Addition. Die Summe zweier Dedekindscher Schnitte ist:
3. Subtraktion. Die Differenz zweier Dedekindscher Schnitte ist:
4. Multiplikation. Das Produkt zweier Dedekindscher Schnitte im Fall
5. Division. Der Quotient zweier Dedekindscher Schnitte im Fall
6. Vollständigkeit. Das Supremum einer Menge Dedekindscher Schnitte, die nach oben beschränkt ist:
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2 Eine weitere Verallgemeinerung: surreale Zahlen 3 siehe auch |
Allgemeiner ist in einer halbgeordneten Menge S die Menge aller nichtleeren "nach unten abgeschlossenen" Teilmengen (auch "order ideals" (?) genannt) eine durch Inklusion teilgeordnete Menge und wir können auf die selbe Weise S in einer grösseren halbgeordneten Menge einbetten die, allgemein im Gegensatz zur ursprünglichen Menge S, die Supremums-Eigenschaft hat. Diese grössere Halbordnung nennt man auch den Dedekind-Abschluss von S.
Eine zu den Dedekindschen Schnitten sehr ähnliche Methode wird zur Konstruktion der surrealen Zahlen benutzt.Verallgemeinerung: Dedekindsche Schnitte in Halbordnungen
Eine weitere Verallgemeinerung: surreale Zahlen