Pareto-Optimierung
In der Mathematik und im Operations-Research bezeichnet man mit Pareto-Optimierung (nach Vilfredo Pareto) das Lösen eines Optimierungsproblems mit mehreren Zielen (ein multikriterielles Problem).Bei vielen Optimierungsaufgaben lassen sich mehrere, voneinander grundsätzlich unabhängige Zielsetzungen definieren, zum Beispiel bei Kraftmaschinen der Wirkungsgrad, die maximale Leistung und der Schadstoffausstoß. Es ist hier oft nicht möglich, alle Ziele gemeinsam zu optimieren, man kann sich zum Beispiel in der Situation befinden, dass man die maximale Leistung nur erhöhen kann (eine Verbesserung), wenn gleichzeitig der Wirkungsgrad sinkt (eine Verschlechterung).
Das übliche Vorgehen zur Behandlung solcher Aufgaben ist es, die interessierenden Ziele als Teilziele aufzufassen und sie mittels Wichtungsfaktoren zu einer gemeinsamen Zielfunktion zusammenzufassen. Man erhält auf diese Weise ein monokriterielles Problem. Dies löst man mit einem der unter Operations-Research genannten Verfahren und bestimmt eine optimale Lösung für die gemeinsame Zielfunktion.
Bei nicht in einander umrechenbaren Zielgrößen, wie etwa im gegebenen Beispiel, sind die anzusetzenden Wichtungsfaktoren willkürlich und in bestimmten Rahmen subjektiv. Hierdurch ergibt sich auch eine entsprechende Willkürlichkeit bei der Identifikation der gesuchten "besten" Lösung des Optimierungsproblems. Eine sinnvolle Vorgehensweise ist in solchen Fällen die separate Optimierung für alle möglichen Kombinationen von Wichtungsfaktoren. Dabei wird man in der Regel nicht eine einzelne beste Lösung finden, da die Zielkriterien meist miteinander in Konflikt stehen (wie oben die maximale Leistung und der Wirkungsgrad).
Vielmehr bestimmt man eine Menge von Lösungen des Optimierungsproblems, bei der eine Verbesserung eines Zielfunktionswertes nur noch durch Verschlechterung eines anderen erreicht werden kann. Diese Lösungsmenge bezeichnet man als Pareto-Menge des zugrunde liegenden Paretooptimierungsproblems.
Ist die Paretomenge des gegebenen Optimierungsproblems erst einmal gefunden, können subjektive Einschätzungen über die Wichtigkeit der einzelnen Teilziele (verschiedene Wichtungsfaktoren) angegeben werden. Die Paretomenge enthält dann für beliebige relative Teilzielwichtungen jeweils mindestens eine Lösung, die bei dieser Wichtung optimal ist.
Bei einem Optimierungsproblem mit n Zielen wird die Paretomenge eine (n-1)-dimensionale Hyper-Grenzfläche darstellen. (Bei einem linearen Optimierungsproblem ist diese Grenzfläche ein Ausschnitt einer Hyperebene.) Die Paretomenge eines zwei-kriteriellen Problems (z.B. Leistung vs. Wirkungsgrad einer Kraftmaschine) wird also eine streng monoton fallende, nicht notwendigerweise stetige Grenzlinie in einem Leistungs-Wirkungsgrad-Diagramm darstellen.
Spätestens bei vierdimensionalen Problemen hört jegliche direkte Visualisierungsmöglichkeit auf. Stattdessen muss der Lösungsraum durch Hilfsmittel wie etwa dem Sterndiagramm interaktiv ertastet werden.Dimension und Visualisierung