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Mehrgitterverfahren



Mehrgitterverfahren bilden eine Klasse von Algorithmen und Methoden zur effizienten Lösung von Gleichungssystemen mehrdimensionaler Probleme in der numerischen Mathematik. Partielle Differentialgleichungen wie die Poisson-Gleichung, können damit optimal bezüglich Speicherbedarf und Rechenaufwand gelöst werden.

Die Grundidee ist dabei, dass man die Auflösung des Gitters in einer Hierarchie von Ebenen immer weiter vergröbert und somit auch die Problemgröße reduziert. Auf den groben Gittern werden aber jeweils nur Korrekturen der Fehler auf den feineren Gitter mittels Glättern (Gauß-Seidel oder Jakobi Relaxation) angenähert und anschließend aufaddiert. Ein normaler Mehrgitterzyklus (oder V-Zyklus) beginnt auf dem feinsten Gitter mit einer Näherung der Lösung. Mit dieser meist falschen Lösung wird die Residuumsgleichung aufgestellt. Dieses neue Gleichungssystem wird durch eine Restriktion auf die Dimension des nächstgröberen Gitters überführt. Dann wird dieses Verfahren rekursiv bis zur gröbsten Mehrgitter Ebene durchgeführt, wo das Gleichungssystem meist direkt gelöst wird. Beim zurückkehren werden die Korrekturen durch Prolongation (meist Interpolation) auf die feinere Ebene überführt und dann zur dortigen Näherung aufaddiert. Auf dem feinsten Gitter angelangt ist ein V-Zyklus abgeschlossen.




     
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