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Numerische Mathematik



Die numerische Mathematik, kurz Numerik genannt, beschäftigt sich als Teilgebiet der Mathematik mit der Konstruktion und Analyse von Algorithmen für kontinuierliche mathematische Probleme.

Interesse an solchen Algorithmen besteht meist aus einem der beiden folgenden Gründe: 1. Es gibt zu dem Problem keine explizite Darstellung der Lösung (so zum Beispiel bei den Navier-Stokes-Gleichungen oder dem Dreikörperproblem) oder 2. die explizite Lösungsdarstellung ist nicht geeignet, um die Lösung schnell auszurechnen beziehungsweise in einer Form, in der Rechenfehler sich stark bemerkbar machen (zum Beispiel bei vielen Potenzreihen).

Unterschieden werden zwei Typen von Algorithmen. Einmal explizite, die nach endlicher Zeit in unendlicher Rechnergenauigkeit die exakte Lösung eines Problems liefern und auf der anderen Seite Näherungsverfahren, welche nur Approximationen liefern. Ein Beispiel für ersteres ist das Gaußsche Eliminationsverfahren, welches die Lösung eines linearen Gleichungssystems liefert. Näherungsverfahren sind unter anderem Quadraturformeln, die den Wert eines Integrals näherungsweise berechnen oder auch das Newton-Verfahren, das iterativ bessere Approximationen an eine Nullstelle einer Funktion liefert.

Geschichte

Der Wunsch, mathematische Gleichungen zahlenmäßig (auch näherungsweise) lösen zu können besteht keineswegs erst seit der Erfindung von Computern, sondern ist uralt. Die alten Griechen kannten bereits Probleme, die sie nur näherungsweise lösen konnten wie die Berechnung von Flächen (Integration) oder der Kreiszahl π. In diesem Sinne kann Archimedes, der für beide Probleme Algorithmen lieferte, als der erste bedeutende Numeriker bezeichnet werden.

Die Namen klassischer Verfahren zeigen deutlich, daß der algorithmische und approximative Zugang zu mathematischen Problemen immer wichtig war, um rein theoretische Aussagen fruchtbar nutzen zu können. Konzepte wie Konvergenzgeschwindigkeit oder Stabilität waren auch beim Rechnen per Hand sehr wichtig, so läßt hohe Konvergenzgeschwindigkeit darauf hoffen, schnell fertig zu werden. Und schon Gauß bemerkte, daß sich seine Rechenfehler beim Gaußschen Eliminationsverfahren manchmal desaströs auf die Lösung auswirkten und sie so komplett unbrauchtbar machten. Er zog deswegen das Gauß-Seidel-Verfahren vor, wo man Fehler durch das Ausführen eines weiteren Iterationsschrittes leicht ausgleichen konnte.

Um das monotone Durchführen von Algorithmen zu erleichtern wurden im 19. Jahrhundert mechanische Rechenmaschinen entwickelt und schließlich in den 1930ern Computer. Der zweite Weltkrieg beschleunigte die Entwicklung dramatisch und insbesondere im Rahmen des Manhattan Projects trieb John von Neumann sowohl mathematisch als auch technisch die Numerik voran. Die Zeit des kalten Krieges war vor allem von militärischen Anwendungen wie Widereintrittsproblemen geprägt doch die Explosion der Rechnerleistung seit den 1980ern hat zivile Anwendungen in den Vordergrund treten lassen. Ferner hat sich der Bedarf nach schnellen Algorithmen mit dem Geschwindigkeitszuwachs entsprechend verstärkt. Für viele Probleme hat die Forschung dies leisten können und so hat sich die Geschwindigkeit der Algorithmen in den letzten 20 Jahren um etwa dieselbe Größenordnung verbessert wie die CPU-Leistungen. Heutzutage sind numerische Verfahren in jedem technischen oder wissenschaftlichen Bereich präsent und Alltagswerkzeug.

Fehleranalyse

Ein Aspekt bei der Analyse der Algorithmen in der Numerik ist die Fehleranalyse. Bei einer numerischen Berechnung kommen verschiedene Typen von Fehlern zum Tragen: Beim Rechnen mit Computerzahlen treten unvermeidlich Fehler auf. Diese Fehler lassen sich zwar zum Beispiel durch eine Erhöhung der Stellenzahl verkleinern, aber nicht prinzipiell verhindern. Das numerische Verfahren ersetzt das kontinuierliche mathematische Problem durch ein diskretes, also endliches Problem. Dabei tritt bereits der so genannte Diskretisierungs-Fehler auf.

Die Größe der Fehler hängt entscheidend von der so genannten Kondition des gestellten Problems ab. Hat ein Problem eine große Kondition, so hängt die Lösung des Problems empfindlich von den Anfangsdaten ab, was eine numerische Lösung erschwert. Man spricht von einem schlecht gestellten Problem.

Teilgebiete der Numerik sind unter anderem:

Siehe auch: Liste numerischer Verfahren




     
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