Jacobi-Matrix
Die
Jacobi-Matrix (auch Funktionalmatrix) dient zur näherungsweisen Berechnung mehrdimensionaler
Funktionenen in der
Mathematik.
Sie ist die m × n-Matrix sämtlicher erster partiellen Ableitungen einer differenzierbaren Funktion
Als
lineare Abbildung stellt sie die beste lineare
Approximation einer differenzierbaren Funktion in einem gegebenen Punkt dar (siehe auch
Taylor-Formel). Benannt wurde sie nach
Carl Gustav Jacob Jacobi. Die
Determinante der Jacobi-Matrix spielt z.B. bei Transformationen von Integralen eine wichtige Rolle und wird meist
Funktionaldeterminante genannt.
Bei n = m = 3:
-
lautet sie:
und kann, wenn man sie für einen Punkt
p ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von
f in der Nähe von
p verwendet werden:
Für
m = 1 entspricht die Jacobi-Matrix dem
Gradient von
f.
Ein Beispiel für eine Rechnung mit der Jacobi-Matrix ist die Transformation in
Polarkoordinaten
Siehe auch: Differentialrechnung, Matrixmultiplikation