Duodezimalsystem
Das Duodezimalsystem ist ein Stellenwertsystem zur Darstellung von Zahlen. Es verwendet die Basis Zwölf, ist also das "12-adische Stellenwertsystem". Das bedeutet: Anders als beim üblichen Dezimalsystem (mit der Basis 10) gibt es 12 Ziffern, so dass erst für natürliche Zahlen ab 12 eine zweite Ziffer benötigt wird.
Table of contents |
2 Darstellung von Zahlen 3 Grundrechenarten 4 Umrechnen in andere Stellenwertsysteme 5 Weblinks |
Die Zahl 12 hatte in vielen Kulturen eine wichtige Bedeutung. Ein Grund sind vermutlich die 12 Mond-Monate im Jahr. Beispiele der Verwendung der 12 sind die 12 Monate im Jahr, zweimal 12 Stunden pro Tag, 12 Tierkreiszeichen, 12 Zeichen in der chinesischen Astrologie.
In vielen europäischen Sprachen gibt es eigene Zahlennamen für 11 ("elf") und 12 ("zwölf") anstelle der regelmäßigen Zehnersystem-Namen (wie "zweizehn"). Dies weist, wie auch die Verwendung des Dutzend, auf eine breite Verwendung der Basis 12 hin.
Zusätzlich hat die 12 die Eigenschaft, durch relativ viele Zahlen teilbar zu sein (2, 3, 4, 6), was die Verwendung als Größeneinteilung (z.B. bei Zoll und Fuß) zur Folge hatte.
Ein kleiner Nachteil gegenüber dem Hexadezimalsystem, den das Duo- mit dem Dezimal und dem Oktalsystem teilt, ist, dass die Wurzel der Basis keine ganze Zahl ist.
Das Duodezimalsystem wird heute noch in einigen Zusammenhängen verwendet:
Die Dozenal Society of America (gegr. 1944) schlug zusätzlich zu den Ziffern 0 bis 9 noch X für 10 und E für 11 vor, später dann # für 11. Die Zahl 278 würde dann z.B. als 1#2 (1·144+11·12+2·1) geschrieben.
Die Dozenal Society of Great Britain (gegr. 1959) bevorzugt statt dessen die auf den Kopf gestellten Ziffern 2 und 3.
In diesem Artikel verwenden wir die Ziffern # und E für Zehn und Elf.
Die Darstellung der Zahlen erfolgt ähnlich wie die Darstellung im gewöhnlich verwendeten Dezimalsystem, mit dem Unterschied, dass die Wertigkeit der Ziffern nicht durch die entsprechende Zehnerpotenz, sondern durch die passende Zwölferpotenz bestimmt wird.
Beispielsweise stellt die Ziffernfolge 234 nicht (wie im Dezimalsystem) die Zweihundertvierunddreißig dar, sondern die Dreihundertachtundzwanzig, denn im Duodezimalsystem berechnet sich der Wert durch:
Duodezimale Brüche sind wie im Dezimalsystem entweder endlich, wie
Ganz analog zu den Zahlen im Dezimalsystem lassen sich mit Duodezimalzahlen die gängigen arithmetischen Grundoperation Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen.
Die benötigten Algorithmen sind prinzipiell dieselben, nur werden durch die größere Anzahl von Ziffern das kleine Einmaleins und die Additionstabelle größer.Verwendung und Geschichte
Ansätze, das Dezimalsystem mit zwei zusätzlichen Ziffern zu ergänzen, um allgemein im Duodezimalsystem zu rechnen, konnten sich dagegen nicht durchsetzen.Darstellung von Zahlen
Ziffern
Ganze und rationale Zahlen
Die Indices weisen dabei auf die verwendete Basis hin.
oder periodisch, wie
Negative Zahlen schreibt man wie im Dezimalsystem mit einem vorangestellte Minuszeichen.Grundrechenarten
Duodezimalsystem | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | # | E | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 1# | 1E | 20 |
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Dezimalsystem | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
Um aus einer Duodezimalzahl eine Dezimalzahl zu erhalten, zählt man die angegebenen Vielfachen der 12er-Potenzen zusammen, berechnet also den Wert der Zahl wie es die Definition des 12-adischen Stellenwertsystems vorgibt:
Eine Möglichkeit, eine Dezimalzahl ins Duodezimalsystem umzuwandeln, ist die Betrachtung der Divisionsreste die entstehen, wenn die Zahl durch die Basis 12 geteilt wird.
Im Beispiel der 328(10) sähe das so aus:
vom Duodezimalsystem ins Dezimalsystem
vom Dezimalsystem ins Duodezimalsystem
328:12=27 Rest 4,
27:12= 2 Rest 3,
2:12= 0 Rest 2.
Der zu errechende Wert ist nun von unten nach oben an den Resten ablesbar: 234(12).