Zwischenwertsatz
In der reellen Analysis ist der Zwischenwertsatz ein wichtiger Satz über die Existenz von Nullstellen stetigerer Funktionen. Er lautet:
- Ist f: R -> R in einem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig und gilt
- f(a) * f(b) < 0
- (das ist gleichbedeutend damit, dass einer der beiden Funktionswerte positiv und der andere negativ ist), dann existiert eine reelle Zahl x im offenen Intervall (a, b), so dass f(x) = 0, also eine Nullstelle von f.
Die Cosinus-Funktion cos(x) ist im Intervall [0, 2] stetig, es ist cos(0) = 1 und cos(2) = -0,4161... < 0. Der Zwischenwertsatz besagt dann, dass der Cosinus mindestens eine Nullstelle im Intervall (0, 2) hat. Tatsächlich gibt es in dem Intervall genau eine Nullstelle, die den Wert π/2 hat. Man kann π über diesen Zusammenhang definieren.Beispiele