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Wahrscheinlichkeitsverteilung



In der Wahrscheinlichkeitstheorie geben eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, eine Verteilungsfunktion oder eine Wahrscheinlichkeitsdichte an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine diskrete oder kontinuierliche Zufallsgröße bestimmte Werte annimmt.

Table of contents
1 Definitionen
2 Wichtige Verteilungen
3 Einordnung in axiomatischen Aufbau
4 Weblinks

Definitionen

Die drei Begriffe Wahrscheinlichkeitsverteilung, Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte stehen in engem Zusammenhang miteinander; deshalb werden sie in einem gemeinsamen Artikel erklärt. Die im folgenden gegebenen Definitionen sind die in der mathematischen Literatur mehrheitlich üblichen. In mathematisch anspruchsloseren Texten werden die drei Begriffe allerdings nicht selten und in beinahe jeder denkbaren Weise miteinander verwechselt; im Zweifel muss man aus dem Kontext und/oder der formalen Notation erschließen, ob zum Beispiel eine als Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnete Funktion eine kumulierte Verteilungsfunktion oder eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Zufallsgröße X bestimmte Werte annimmt. Im Falle einer diskreten Zufallsgröße kann man zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert 5 annimmt, als P(X=5) notieren. Im Falle einer kontinuierlichen Zufallsgröße ist der Begriff der Wahrscheinlichkeitsverteilung dagegen problematisch, denn die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsgröße auf unendlich viele Stellen genau einen bestimmten reellen Wert annimmt, ist 0. Um eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung zu bestimmen, fragt man nicht, mit welcher Wahrscheinlichkeit X einen bestimmten Wert annimmt, sondern mit welcher Wahrscheinlichkeit X in ein bestimmtes Intervall fällt. Zum Beispiel kann man P(5≤X<6) angeben. Mit einem nach unten unendlichen Intervall erhält man eine kumulative Verteilungsfunktion; mit einem infinitesimalen Intervall eine Wahrscheinlichkeitsdichte. Der Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht in der deskriptiven Statistik die Häufigkeitsverteilung.

Eine kumulative Verteilungsfunktion F(x) = P(Xx) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable X einen Wert kleiner oder gleich x annimmt. Man kann Verteilungsfunktionen sowohl für diskrete wie auch für kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen angeben. In der Regel spricht man einfach von einer Verteilungsfunktion. Die explizite Kennzeichnung als kumulativ kann helfen, Verwechslungen mit der Wahrscheinlichkeitsdichte zu vermeiden.

Eine Wahrscheinlichkeitsdichte f(x\) wird üblicherweise nur im Falle kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen verwendet. Man erhält sie als Ableitung der kumulativen Verteilungsfunktion, f(x)=dF(x)/dx. Durch Multiplikation von f(x) mit dem Differential dx erhält man die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert aus einem infinitesimal schmalen Intervall annimmt,

dx f(x) = P(xX<x+dx).
Durch Integration über beliebige Intervalle [a,b] erhält man daraus endliche Wahrscheinlichkeiten

Wichtige Verteilungen

Diskrete Verteilungen

Siehe auch: Näherungslösungen

Kontinuierliche Verteilungen

Über einem endlichen Intervall, im einfachsten Fall [0,1]:

Über einem halbseitig unendlichen Intervall, üblicherweise als [0,∞) angenommen: Über der ganzen Zahlengeraden: Noch nicht in die obigen drei Kategorien einsortiert:

Einordnung in axiomatischen Aufbau

Aus einer älteren Fassung; müsste an aktuelle Struktur der Wahrscheinlichkeits-Artikel angepasst werden:

In einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (,p) mit Zähldichte p heißt

die zu p gehörende Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Es gelten stets die Kolmogorow-Axiome.

Weblinks

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