Wahrscheinlichkeitstheorie
Dieser Artikel enthält mathematische Symbole. Diese werden in der Tabelle mit mathematischen Symbolen erläutert.Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist das Gebiet der Mathematik, das vom Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten handelt.
Table of contents |
2 Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 3 Anwendungsgebiete 4 Stichworte |
Wie jedes Teilgebiet der modernen Mathematik wird auch die Wahrscheinlichkeitstheorie mengentheoretisch formuliert und auf axiomatische Vorgaben aufgebaut. Ausgangspunkt der Wahrscheinlichkeitstheorie sind Ereignisse, die als Mengen aufgefasst werden und denen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet sind; Wahrscheinlichkeiten sind reelle Zahlen zwischen 0 und 1; die Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu Ereignissen muss gewissen Mindestanforderungen genügen.
Diese Definitionen geben keinen Hinweis, wie man die Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse ermitteln kann; sie sagen auch nichts darüber aus, was Zufall und was Wahrscheinlichkeit eigentlich sind. Die mathematische Formulierung der Wahrscheinlichkeitstheorie ist somit für verschiedene Interpretationen offen. Siehe dazu die Artikel Wahrscheinlichkeit, Bayesscher Wahrscheinlichkeitsbegriff, Frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff, Quantenlogik.
Ein Wahrscheinlichkeitsraum Ω ist eine Menge, aus deren Teilmengen sich ein Ereignisraum Σ zusammensetzt, auf dem wiederum ein Wahrscheinlichkeitsmaß P definiert ist.
Ein Element von Ω wird gelegentlich Elementarereignis genannt. Einem Elementarereignis wird keine Wahrscheinlichkeit, gegebenenfalls aber eine Wahrscheinlichkeitsdichte zugeschrieben.
Der Ereignisraum Σ ist eine Menge von Teilmengen von Ω. Wenn Ω abzählbar ist, kann man Σ als die Potenzmenge (die Menge aller Teilmengen) von Ω wählen; jedenfalls muss Σ eine σ-Algebra sein (eine bezüglich der abzählbaren Vereinigung abgeschlossene Menge von Teilmengen, die die Grundmenge und mit jeder Menge auch deren Komplement enthält).
Ein Ereignis A ist somit Element von Σ und Teilmenge von Ω.
Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist ein Maß P: Σ →[0,1] im Sinne der Maßtheorie mit P(Ω)=1.
Historische Bemerkung:
Die Ereignisse beim Münzwurf mögen Zahl oder Wappen lauten.
Aus den Axiomen ergeben sich unmittelbar einige Folgerungen:
Aus der Additivität der Wahrscheinlichkeit disjunkter Ereignisse folgt, dass komplementäre Ereignisse komplementäre Wahrscheinlichkeiten haben: P(Ω\\A) = 1-P(A).
Daraus folgt unmittelbar, dass das unmögliche Ereignis, die leere Menge, die Wahrscheinlichkeit Null hat: P({})=0.
Für die Vereinigung nicht notwendig disjunkter Ereignissen folgt: .
siehe auch Bedingte Wahrscheinlichkeit
Verbundwahrscheinlichkeit (Schnittmengen von Ereignissen):
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik werden zusammenfassend auch als Stochastik bezeichnet. Beide Gebiete stehen in enger wechselseitiger Beziehung:
Die Wahrscheinlichkeitstheorie entstand aus dem Problem der gerechten Verteilung des Einsatzes bei abgebrochenen Glückspielen. Auch andere frühe Anwendungen stammen aus dem Bereich des Glücksspiels.
Heute ist die Wahrscheinlichkeitstheorie eine Grundlage der schließenden Statistik.
Die angewandte Statistik nutzt Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie, etwa um Umfrageergebnisse zu interpretieren oder Wirtschaftsprognosen zu erstellen.
Daneben kommt sie außer in der Physik unter anderem auch in der Zuverlässigkeitstheorie zum Einsatz.
Folgende Stichworte müssen noch eingearbeitet werden:
Axiomatischer Aufbau
Definitionen
Beispiel: Münzwurf
Zusätzliches (außermathematisches) Wissen ist erfordert, um P({Zahl})=P({Wappen})=0,5 anzusetzen.Folgerungen
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Bayes-Theorem:
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Anwendungsgebiete
Stichworte