Vollkommene Zahl
Eine Zahl wird vollkommene Zahl (auch perfekte Zahl oder ideale Zahl) genannt, wenn sie die Summe ihrer (positiven) echten Teiler (d.h. aller Teiler außer sich selbst) ist.Ein Beispiel für eine vollkommene Zahl ist die 6. Ihre echten Teiler sind 1, 2 und 3. Es ist 1 + 2 + 3 = 6. Die 6 ist zudem die kleinste vollkommene Zahl.
Bereits Euklid stellte fest, dass sich die ersten vier vollkommenen Zahlen aus der Formel 2n − 1(2n − 1) berechnen lassen:
- Für n = 2, = 6 = 1 + 2 + 3
- Für n = 3, = 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
- Für n = 5, = 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
- Für n = 7, = 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064
Es ist unbekannt, ob es auch ungerade vollkommene Zahlen gibt. Man weiß jedoch, dass eine solche Zahl, wenn es sie denn gäbe, größer als 10300 sein und mindestens 8 (bzw. 11 wenn die Zahl nicht durch 3 teilbar ist) verschiedene Primteiler haben müsste.
Abundante Zahlen sind solche Zahlen, bei denen die Teilersumme σ* größer als die Zahl selber ist und Defiziente Zahlen sind solche, bei denen die Teilersumme σ* kleiner als die Zahl selber ist!
Eine natürliche Zahl n heißt mehrfach vollkommen, wenn die Summe der echten Teiler ein Vielfaches von n ist, also
Eine natürliche Zahl n heißt pseudovollkommen, wenn sie sich als Summe einiger verschiedener echter Teiler darstellen lässt.
Beispiel: 20 = 1 + 4 + 5 + 10 ist pseudovollkommen, weil der Teiler 2 in der Summendarstellung fehlt.
Eine natürliche Zahl n heißt merkwürdig, wenn sie nicht pseudovollkommen und auch nicht vollkommen ist. D.h. sie kann nicht als Summe einiger oder aller verschiedener Teiler dargestellt werden.
Beispiel: Die Zahl 70 ist merkwürdig, denn sie kann nicht als Summe aus der Teilermenge 1,2,5,7,10,14,35 gebildet werden.
Verwandt mit den vollkommenen Zahlen sind die befreundeten Zahlen bei denen die Summe der Teiler der einen Zahl jeweils die andere Zahl ergibt.
Jedes einzelne befreundete Zahlenpaar besteht genau aus zwei Zahlen. Werden mehr als zwei Zahlen benötigt, um wieder zur Ausgangszahl zurückzukommen, spricht man von geselligen Zahlen (engl. Sociable Numbers). Eine solche Kette besteht somit aus mindestens drei Gliedern.
Die Summe der reziproken Teiler ki einer vollkommenen Zahl n ergibt 2.
Jede gerade vollkommene Zahl n > 6 hat die Darstellung
Beispiel:
Jede gerade vollkommene Zahl n lässt sich mit einer geeigneten natürlichen Zahl k darstellen als
Verwandtschaft mit anderen Zahlenklassen
Abundante und Defiziente Zahlen
Mehrfach vollkommene Zahlen
Beispiel: Die Zahl 120 ist dreifach vollkommen, denn die Summe ihrer Teiler ist 360.Pseudovollkommene Zahlen
Merkwürdige Zahlen
Befreundete Zahlen
Gesellige Zahlen
12.496
1.264.460
Weitere Eigenschaften der vollkommenen Zahlen
Summe der reziproken Teiler
Darstellung von Eaton (1995,1996)
Umgekehrt erhält man nicht zu jedem j eine vollkommene Zahl.Summe der ersten natürlichen Zahlen
Beispiele:Weblinks