Vergleich von Tensordefinitionen
Der metrische Tensor der Relativitätstheorie ist physikalisch als ein Tensor 2. Stufe definiert. Er wird in der Physik bei Abstandsberechnungen verwendet:
Es wird über alle möglichen Werte der Indizes i,k summiert
(i,k können jeweils die Werte 0,1,2,3 annehmen).
Verwendet man den metrischen Tensor der speziellen Relativitätstheorie so ergibt sich
In der Mathematik müssen die Differentiale dt, dx, dy, dz exakt definiert werden, bevor man mit ihnen arbeiten kann. Dies würde einen Exkurs in die Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten erfordern, der für das Vorhaben dieses Artikels aber zu weitreichend wäre.
Ersetzt man die Differentiale dt, dx, dy, dz durch die Differenzen so kann man diese Schwierigkeiten vermeiden und dennoch die wesentlichen Zusammenhänge aufzeigen.
ist z.B. die Differenz zwischen zwei Zeitwerten.Die Schlussfolgerungen bezüglich für die spezielle Relativitätstheorie ändern sich zu
Eine weitere Vereinfachung erreicht man, wenn die Differenzen auf t=0 und x=0, y=0, z=0 bezogen werden, in diesem Fall wird zu t, zu x, zu y, zu z.
Die Gleichung für die Abstandsberechung reduziert sich zu
Das Ergebnis erhält man auch auf die folgende Weise:
Die Matrix wirkt wie ein Tensor mit einem kovarianten und einem kontravarianten Eingabeparameter, links von der Matrix steht ein Zeilenvektor, der kovariante Eingabeparameter, rechts ein Spaltenvektor, der kontravariante Eingabeparameter.
Dies wird folgendermaßen begründet.
Sei und
Der Zeilenvektor kann als eine Matrix aufgefasst werden, die aus einer Zeile und 4 Spalten besteht, dies ist eine (1,4)-Matrix.
Der Spaltenvektor kann als eine Matrix aufgefasst werden, die aus 4 Zeilen und einer Spalte besteht, dies ist eine (4,1)-Matrix.
Das Produkt einer (1,4)-Matrix mit einer (4,1)-Matrix ergibt eine (1,1)-Matrix, diese wird als Skalar (hier als reelle Zahl) interpretiert.
Im Allgemeinen wird ein Spaltenvektor als Element eines Vektorraumes betrachtet, dies impliziert dass der korrespondierende Zeilenvektor ein Element des Dualraumes ist, da das Produkt der beiden Größen eine reelle Zahl ergibt.
Die Vektor-Matrix-Vektor-Multiplikation ist linear für jeden der beiden Eingabeparameter, dies erfüllt die geforderte Bedingung der Bilinearität an einen Tensor.
Somit ist ein Tensor im Sinne der reinen Mathematik.
Man beachte aber auch die Unterschiede zu der physikalischen Darstellung kovarianter Vektoren. Für den kontravarianten Ortsvektor wurde der kovariante Vektor zu berechnet, gemäß der Vorschrift (Summation über den Index k).